Русская Википедия:Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
В математике и физике, уравнение Кадомцева-Петвиашвили (часто сокращённо называемое уравнением КП) — это дифференциальное уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения. Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили уравнение КП обычно записывается как:
- <math>\displaystyle \partial_x(\partial_t u+u \partial_x u+\epsilon^2\partial_{xxx}u)+\lambda\partial_{yy}u=0</math>
где <math>\lambda=\pm 1</math>. Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения, x и y, одномерного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x, то есть с медленными изменениями значений в направлении y.
Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо[1][2][3][4][5]. Оно также может быть решено с помощью Шаблон:Iw, как и нелинейное уравнение Шрёдингера[6].
История
Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928—1998) и Владимиром Петвиашвили (1936—1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдФ (выведенного Кортевегом и де Фризом в 1895 году). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, и в уравнении КдФ, и в уравнении КП волны должны двигаться в положительном направлении x.
Связь с физикой
Уравнение КП может быть использовано для моделирования волн большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией. Если поверхностное натяжение слабо по сравнению с гравитационными силами, используется <math>\lambda=+1</math>; если же поверхностное натяжение сильное, то <math>\lambda=-1</math>. Из-за асимметрии в том, как x- и y-переменные входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (x) и поперечном (y) направлении; колебания в y-направлении имеют тенденцию быть более гладкими (иметь малые отклонения).
Уравнение КП может также использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах[7], а также двумерных волновых импульсов в конденсатах Бозе-Эйнштейна.
Ограниченность
Для <math>\epsilon\ll 1</math>, типичные осцилляции, зависящие от x, имеют длину волны <math>O(1/\epsilon)</math>, что даёт сингулярный предельный режим в виде <math>\epsilon\rightarrow 0</math>. Предел <math>\epsilon\rightarrow 0</math> называется Шаблон:Iw пределом.[8][9][10]
Если мы также предположим, что решения не зависят от y при <math>\epsilon\rightarrow 0</math>, то они будут удовлетворять невязкому уравнению Бюргерса:
- <math>\displaystyle \partial_t u+u\partial_x u=0.</math>
Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — <math>O(\epsilon)</math> — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Шаблон:Iw.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Cite journal. Translation of Шаблон:Cite journal
- Шаблон:Cite book
- Шаблон:Cite journal
- Шаблон:Cite journal
- Шаблон:Cite journal
- Шаблон:Springer
- Шаблон:Cite journal
Ссылки
