Русская Википедия:Уравнение Каратеодори
Уравнение Каратеодо́ри (названо в честь немецкого математика греческого происхождения Константина Каратеодори) — обыкновенное дифференциальное уравнение
- <math>\frac{dx}{dt} = f(t,\;x),\ x=(x_1,\;\ldots,\;x_n) \in \mathbb{R}^n,\ n\geqslant 1,\quad (*)</math>
в котором правая часть (то есть компоненты вектор-функции <math>f</math>) удовлетворяет не классическому условию, обеспечивающему существование и единственность решения с заданным начальным значением (непрерывность по совокупности аргументов и условие Липшица по <math>x</math>), а некоторому существенно более слабому условию, называемому условием Каратеодори:
- вектор-функция <math>f</math> определена и непрерывна по <math>x</math> для почти всех (в смысле меры Лебега) <math>t</math> в области <math>D</math> пространства <math>(t,\;x)</math>.
- вектор-функция <math>f</math> измерима по <math>t</math> для каждого <math>x</math> в области <math>D</math>.
- для каждого ограниченного интервала оси <math>t</math> в области <math>D</math> выполняется неравенство <math>|f(t,\;x)|\leqslant m(t),</math> где <math>m(t)</math> — суммируемая (то есть интегрируемая по Лебегу) функция.
Решением уравнения Каратеодори (*) с начальным условием <math>x(t_0)=x_0</math> называется измеримая вектор-функция <math>x(t),</math> удовлетворяющая интегральному уравнению
- <math>x(t)=x_0+\int\limits_{t_0}^t f(\tau,\;x(\tau))\,d\tau.\quad(**)</math>
Интеграл в (**) понимается в смысле интеграла Лебега для каждой компоненты вектор-функции <math>f</math>. Корректность определения основана на том, что композиция измеримой функции <math>x(t)</math> и удовлетворяющей условию Каратеодори функции <math>f(t,\;x)</math> является суммируемой функцией от переменной <math>t.</math>
Уравнения Каратеодори находят применения в различных областях математики. Кроме того, они обладают многими свойствами, присущими классическим уравнениям с непрерывной правой частью.
Теорема существования и единственности
- Предположим, что условие Каратеодори выполнено в области <math>D=\{t_0\leqslant t\leqslant t_0+a,\;|x-x_0|\leqslant b\}</math>, <math>a,\;b>0,</math> тогда существует такое <math>\delta>0,</math> что уравнение (*) с начальным условием <math>x(t_0)=x_0</math> имеет решение <math>x(t)</math> на отрезке <math>[t_0,\;t_0+\delta].</math> В качестве <math>\delta</math> можно взять любое число, удовлетворяющее условиям
- <math>0<\delta\leqslant a,\quad\mu(t_0+\delta)\leqslant b,\quad\mu(t):=\int\limits_{t_0}^t m(\tau)\,d\tau.</math>
- Если существует такая суммируемая функция <math>l(t),</math> что выполняется неравенство
- <math>|f(t,\;x)-f(t,\;y)|\leqslant l(t)|x-y|,\quad\forall(t,\;x),\;(t,\;y)\in D,</math>
или неравенство
- <math>(f(t,\;x)-f(t,\;y))\cdot(x-y)\leqslant l(t)|x-y|^2,\quad\forall(t,\;x),\;(t,\;y)\in D,</math>
где в случае <math>n>1</math> точка означает скалярное произведение, то уравнение (*) с начальным условием <math>x(t_0)=x_0</math> в области <math>D</math> имеет не более одного решения.
Литература
- Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — Москва: Наука, 1985.
Ссылки
