Русская Википедия:Уравнение Кеплера
Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:
- <math>E- e \, \sin E = M</math>
где <math>E</math> — эксцентрическая аномалия, <math>e</math> — эксцентриситет орбиты, а <math>M</math> — средняя аномалия.
Впервые это уравнение было получено астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году. Играет значительную роль в небесной механике.
Варианты уравнения Кеплера
Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при <math>0 \le e < 1</math>. Движение по гиперболическим орбитам <math>(e > 1)</math> подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии <math>(e = -1)</math> описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите <math>(e = 1)</math> используют уравнение Баркера. При <math>e < 0</math> орбит не существует.
Задача, приводящая к уравнению Кеплера
Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что
- <math> r^2 \frac{d\vartheta}{dt} = {\rm const} = \sqrt{\mu a \left(1-e^2\right)}</math>.
Здесь <math>r</math> — расстояние от тела до гравитирующего центра, <math>\vartheta</math> — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело, <math>\mu = G M_0</math> — произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела, <math>a</math> — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:
- <math>t - t_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu a \left(1 - e^2\right)}} \int\limits_0^\vartheta r^2 d\vartheta</math>.
Здесь <math>t_0</math> — время прохождения через перицентр.
Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.
Эллиптическая орбита
Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид
- <math>r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{\vartheta}}</math>
Тогда уравнение для времени приобретает вид
- <math>t - t_0 = \frac{\left(a\left(1-e^2\right)\right)^{3/2}}{\sqrt{\mu}} \int\limits_0^\vartheta \frac{d\vartheta}{(1 + e\cos{\vartheta})^2}</math>
Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:
- <math>\operatorname{tg}\frac {\vartheta} {2} = \sqrt{\frac {1+e} {1-e}}\cdot\operatorname{tg}\frac {E} {2}</math>
Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:
- <math>t - t_0 = \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}\left(E - e\sin E\right)</math>
Величина <math>\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}</math> является средней угловой скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина представляет собой угол, на которой повернулся бы радиус-вектор тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси орбиты тела.
Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:
- <math>E-e\sin E = M</math>
Гиперболическая орбита
Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: <math>x = -a\,\mathrm{ch}\,H</math>, <math>y = a \sqrt{e^2 -1}\,\mathrm{sh}\,H</math>. Тогда уравнение для гиперболы принимает вид
- <math>r = a \left(e\,\mathrm{ch}\,H - 1\right)</math>,
а связь между <math>\vartheta</math> и <math>H</math>
- <math>\mathrm{tg}\,\frac{\vartheta}{2} = \sqrt{\frac{e +1}{e -1}}\,\mathrm{th}\,\frac{H}{2}</math>.
Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:
- <math>M = e\,\mathrm{sh}\,H - H</math>
Величина <math>H</math> называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку <math>\mathrm{sh}\,H = -i\sin{iH}</math>, то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:
- <math>M = -ei\sin{iH} -H = i\left(iH - e\sin{iH}\right) = i\left(E-e\sin E\right)</math>.
Отсюда видно, что <math>E = i H</math>.
Параболическая орбита
Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид
<math>r = \frac{2\,r_{\pi}}{1+\cos \vartheta}</math>
где <math>r_{\pi}</math> — расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории
<math>r^2 \, \frac{d\vartheta}{dt} = {\rm const} = \sqrt{2\, \mu \, r_{\pi}}</math>
Откуда получаем интеграл, определяющий время движения
<math>t - t_0 = 2 \, r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \int\limits_{0}^{\vartheta} \frac{d\vartheta}{(1+\cos\vartheta)^2}</math>
Вводим универсальную тригонометрическую замену
<math>z = {\rm tg} \, \frac{\vartheta}{2}, \quad \vartheta = 2 \, {\rm arctg} \, z, \quad d\vartheta = \frac{2 \, dz}{1 + z^2}, \quad \cos\vartheta = \frac{1-z^2}{1+z^2}</math>
и преобразуем интеграл
<math>t - t_0 = 4 \, r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \int\limits_{0}^{{\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2}} \frac{\cfrac{dz}{1+z^2}}{\left(1+\cfrac{1-z^2}{1+z^2}\right)^2} = r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \int\limits_{0}^{{\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2}} (1 + z^2) \, dz = r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \left. \left(z + \frac{z^3}{3} \right) \right|_0^{{\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2}}</math>
получаем окончательно
<math>t - t_0 = r_{\pi} \, \sqrt{\frac{2\,r_{\pi}}{\mu}} \left({\rm tg \,}\frac{\vartheta}{2} + \frac{1}{3}{\rm tg^3 \,}\frac{\vartheta}{2} \right)</math>
Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.
Радиальная орбита
Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль траектории и трансверсальная составляющая отсутствуетШаблон:Sfn, значит
<math> v = \frac{dr}{dt} </math>
Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических соображений
<math> \frac{m \, v^2}{2} - \frac{m \, \mu}{r} = {\rm const} </math>
<math> v^2 = \frac{2\mu}{r} + h </math>
— интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение
<math> \frac{dr}{dt} = \pm \sqrt{\frac{2\mu}{r} + h} </math>
Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу
<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \int\limits_{r_0}^{r_1} \frac{dr}{\sqrt{\cfrac{2\mu}{r} + h}} </math>
способ вычисления которого определяется знаком константы <math>h</math>. Выделяют три случая
- <math>h < 0</math> прямолинейно-эллиптическая орбита
Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической орбите. Для вычисления интеграла введем замену
<math> \frac{2\,\mu}{r} = \frac{-h}{\sin^2 u}, \quad u_0 = {\rm arcsin} \sqrt{\frac{-h\,r_0}{2\,\mu}}, \quad u_1 = {\rm arcsin} \sqrt{\frac{-h\,r_1}{2\,\mu}}, \quad dr = \frac{4\,\mu}{-h} \sin u \cos u \,du </math>
вычисляем интеграл
<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{4\,\mu}{-h\sqrt{-h}} \int\limits_{u_0}^{u_1} \sin^2 u \, du = \frac{2\,\mu}{-h\sqrt{-h}} \int\limits_{u_0}^{u_1} \left(1 - \cos{2u} \right) \, du
=\frac{\mu}{-h\sqrt{-h}} \left.
\left(2\, u - \sin 2u \right) \right|_{u_0}^{u_1} </math>
Полагая <math>E = 2\,u</math>, запишем результат
<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{\mu}{-h\sqrt{-h}} \left(E_1 - E_0 - \sin E_1 + \sin E_0 \right) </math>
приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра <math>r_0 = 0</math>, и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от притягивающего центра со временем движения
<math> t_1 - t_0 = \frac{\mu}{-h\sqrt{-h}} \left(E - \sin E\right) </math>
где <math>E = 2 \arcsin \sqrt{\frac{-h\,r}{2\,\mu}}</math>.
- <math>h = 0</math> прямолинейно-параболическая орбита
Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле
<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \int\limits_{r_0}^{r_1} \frac{dr}{\sqrt{\cfrac{2\mu}{r}}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2}{\mu}} \left( r_1 \sqrt{r_1} - r_0 \sqrt{r_0}\right) </math>
Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения
<math> r(t) = \left[3 \sqrt{\frac{\mu}{2}} \left(t_1 - t_0 \right) \right]^{\frac{2}{3}} </math>
- <math>h > 0</math> прямолинейно-гиперболическая орбита
Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость, <math>v_{\infty} = \sqrt{h}</math>. Вводим замену
<math> \frac{2\,\mu}{r} = \frac{h}{{\rm sh}^2 u}, \quad u_0 = {\rm arcsh} \sqrt{\frac{h\,r_0}{2\,\mu}}, \quad u_1 = {\rm arcsh} \sqrt{\frac{h\,r_1}{2\,\mu}}, \quad dr = \frac{4\,\mu}{h} \, {\rm sh} u \, {\rm ch} u \,du </math>
и вычисляем интеграл
<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{4\,\mu}{h\sqrt{h}} \int\limits_{u_0}^{u_1} {\rm sh}^2 u \, du = \frac{2\,\mu}{h\sqrt{h}} \int\limits_{u_0}^{u_1} \left({\rm ch}{2u} - 1 \right) \, du = \frac{\mu}{h\sqrt{h}} \left. \left({\rm sh} 2u - 2\,u \right) \right|_{u_0}^{u_1} </math>
Полагая <math>H = 2\,u</math>, получаем
<math> \mp \left(t_1 - t_0\right) = \frac{\mu}{h\sqrt{h}} \left({\rm sh} \, H_1 - {\rm sh} \, H_0 - H_1 + H_0 \right) </math>
Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое радиальное уравнение Кеплера
<math> t_1 - t_0 = \frac{\mu}{h\sqrt{h}} \left({\rm sh} H - H\right) </math>
где <math>H = 2 \, {\rm arcsh} \sqrt{\frac{h\,r}{2\,\mu}}</math>
Решение уравнения Кеплера
Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M[1]. Для круговой орбиты (e = 0) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид М = E. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:
- <math>E = M + 2\cdot\sum_{n=1}^{n} \frac{1}{n}J_n\left(n\, e \, \right)\cdot\sin{nM}</math>,
где
- <math>J_m\left(x\right) = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi \cos\left(mE - x\sin{E}\right) dE</math>
Этот ряд сходится, когда величина ε не превышает значения предела Лапласа.
Приближённые методы
Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона[2]. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E0 можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид[1]:
- <math>E_{n+1}=e \, \sin E_n+M</math>
В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом)[1]:
- <math>H_{n+1}=\operatorname{Ar sh}\frac{H_n+M}{e}</math>
Примечания
Литература
Шаблон:ВС Шаблон:Небесная механика Шаблон:Иоганн Кеплер
