Русская Википедия:Уравнение Колмогорова — Чепмена
Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов <math>\mathbf{P}(t),\; t > 0 </math> в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:
- <math>\mathbf{P}(t+s)=\mathbf{P}(t)\mathbf{P}(s).</math>
Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где <math>\mathbf{P}(t),\; t\geq 0 </math> — оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени <math>t</math> (<math>\mathbf{P}(0)=\mathbf{1}</math>).
Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов <math>\mathbf{P}(t,h),\; h > t > 0 </math>, преобразующих распределение вероятностей в момент времени <math>t > 0 </math> в распределение вероятности в момент времени <math>h > t > 0.</math> Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид
- <math>\mathbf{P}(t,s)=\mathbf{P}(t,h)\mathbf{P}(h,s), \;s > h > t > 0.</math>
Для систем с дискретным временем параметры <math>t, h, s </math> принимают натуральные значения.
Прямое и обратное уравнения Колмогорова
Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по <math>s</math> при <math>s=0</math> получаем прямое уравнение Колмогорова:
- <math>\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{P}(t)\mathbf{Q},</math>
где
- <math>\mathbf{Q}=\lim_{h \to 0}\frac{\mathbf{P}(h)-\mathbf{1}}{h}.</math>
Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по <math>t</math> при <math>t=0</math> получаем обратное уравнение Колмогорова
- <math>\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{Q}\mathbf{P}(t).</math>
Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор <math>\mathbf{Q}</math> уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.
Примеры
Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в <math>\mathbb{R}^n,</math> для которых оператор переходных вероятностей <math>\mathbf{P}(t)</math> задаётся переходной плотностью <math>p(t,x,y)</math>: вероятность перехода из области <math>U</math> в область <math>W</math> за время <math>t</math> есть <math>\int\limits_U dx \,\int\limits_V dy \, p(t,x,y)</math>. Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:
- <math>p(t+s,x,y)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}p(t,x,z)p(s,z,y)\, dz .</math>
При <math>t>0, \, t \to 0</math> переходная плотность <math>p(t,x,y)</math> стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций):<math>\lim_{t \to 0} p(t,x,y) = \delta(x-y)</math>. Это означает, что <math>\lim_{t \to 0} \mathbf{P}(t)=\mathbf{1}. </math> Пусть существует предел (также обобщённая функция)
- <math>q(x,y)=\lim_{h \to 0}\frac{p(h,x,y)-\delta(x-y)}{h}.</math>
Тогда оператор <math>\mathbf{Q}</math> действует на функции <math>f(x)</math>, определённые на <math>\mathbb{R}^n,</math> как <math>(\mathbf{Q}f)(x) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} q(x,y) f(y) \, dy , </math> и прямое уравнение Колмогорова принимает вид
- <math>\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}=\int\limits_{\mathbb{R}^n} p(t,x,z) q(z,y) \, dz, </math>
а обратное уравнение Колмогорова
- <math>\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}=\int\limits_{\mathbb{R}^n} q(x,z) p(t,z,y) \, dz . </math>
Пусть оператор <math>\mathbf{Q}</math> — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:
- <math>(\mathbf{Q}f)= \frac{1}{2}\sum_{i,j} a^{ij}(x)\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}+ \sum_j b^j(x) \frac{\partial f}{\partial x^j}.</math>
(это означает, что <math>q(x,y)</math> есть линейная комбинация первых и вторых производных <math>\delta(x-y)</math> с непрерывными коэффициентами). Матрица <math>a^{ij}</math> симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид
- <math>\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \frac{\partial^2}{\partial y^i\partial y^j}(a^{ij}(y)p(t,x,y))- \sum_j \frac{\partial }{\partial y^j}(b^j(y) p(t,x,y)).</math>
Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор <math>b^j</math> в физической литературе называется вектором сноса, а матрица <math>a^{ij}</math> — тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае
- <math>\frac{\partial p(t,x,y)}{\partial t}= \frac{1}{2}\sum_{i,j} a^{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^j}p(t,x,y)+ \sum_j b^j(x) \frac{\partial }{\partial x^j} p(t,x,y).</math>
См. также
Литература
- Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996. — 400 с.
