Русская Википедия:Уравнение Кортевега — де Фриза

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Уравне́ние Кортеве́га — деШаблон:NbspФри́за (уравнение КдФ; также встречается написание деШаблон:NbspВриза, деШаблон:NbspВриса, деШаблон:NbspФриса, ДеШаблон:NbspФриса; Шаблон:Lang-en) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году[1], но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и [[Врис, Густав де|Густавом деШаблон:NbspВрисом]] в 1895 году[2].

Уравнение имеет вид:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0</math>.

Решения

Для уравнения Кортевега — деШаблон:NbspФриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

<math>u \left( x,t \right) = \frac{2\kappa^2}{\cosh^2 \left[ \kappa \left( x-4\kappa^2t-x_0 \right)\right]}</math>,

где <math>\kappa</math> — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость; <math>x_0</math> — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси Шаблон:Math. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — деШаблон:NbspФриза имеют вид Шаблон:Iw, описываемых эллиптическими интегралами:

<math>x-ct-x_0 = \int \left( 2E + cu^2 - 2u^3 \right)^{-\frac{1}{2}}du</math>

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — деШаблон:NbspФриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Интегралы движения и представление Лакса

Уравнение Кортевега — деШаблон:NbspФриза имеет важное значение для теории интегрируемых систем как один из простейших примеров точно решаемого нелинейного дифференциального уравнения. Интегрируемость обеспечивается наличием у уравнения бесконечного количества интегралов движения, имеющих вид

<math>I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} P_{2n-1}(u,\, \partial_x u,\, \partial_x^2 u,\, \ldots)\, \text{d}x\,</math>

где <math>P_n</math> — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, заданные рекурсивно следующим образом:

<math>

\begin{align} 

 P_1&=u,
 \\
 P_n &= -\frac{dP_{n-1}}{dx} + \sum_{i=1}^{n-2}\, P_i\, P_{n-1-i},
 \quad n \ge 2.
 \end{align}

</math> Их можно получить, воспользовавшись представлением Лакса

<math>\frac{dL}{dt}=[P,L]</math>

посредством пары операторов

<math>

\begin{align} 

 L &= -\partial_{x}^2+u,
 \\
 P &= -4\partial_{x}^3+6u\partial_{x}+3u_x.

\end{align} </math> Более того, можно показать, что уравнение Кортевега — деШаблон:NbspФриза имеет бигамильтонову структуру.

Несколько первых интегралов движения:

  • масса <math>\int u\, \text{d}x,</math>
  • импульс <math>\int u^2\, \text{d}x,</math>
  • энергия <math>\int \left[ 2 u^3 - \left( \partial_x u \right)^2 \right] \, \text{d}x.</math>

Обобщения

При наличии диссипации уравнение Кортевега — деШаблон:NbspФриза переходит в Шаблон:Iw, имеющее вид

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

где параметр <math>\nu</math> характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — деШаблон:NbspФриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

<math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3}\right) = \pm \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}</math>

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Математическая физика

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Книга
  2. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Уравнение_Кортевега_—_де_Фриза&oldid=11062324