Русская Википедия:Уравнение Коши — Эйлера
Шаблон:Нет ссылок В математике (дифференциальных уравнениях) уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения, приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.
Уравнение порядка n
Общий вид уравнения :
- <math>
\sum^{n}_{k=0} {a_k(\alpha x + \beta )^k y^{(k)}(x)}= f(x)
</math>.
Его частный случай :
- <math>
\sum^{n}_{k=0} {a_kx^k y^{(k)}(x)}= f(x)
</math>.
Подстановка
Подстановка вида <math>\ (\alpha x + \beta ) = e^t</math>
то есть <math>\ t = \ln (\alpha x + \beta )</math>
приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что
<math>\ t_x'= \alpha (\alpha x + \beta )^{-1}</math>,
<math>\ t_{xx}= -\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2}</math> и
<math>\ t_{xxx}= +2\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3}</math>.
В соответствии с этим:
- <math>\ y(t)=y(t(x))
</math>
откуда
- <math>\ y_x'(x)=y_t'(t)t_x'=y_t'(t)\alpha (\alpha x + \beta )^{-1}
</math>
таким образом
- <math>\ (\alpha x + \beta )y_x'(x)=\alpha y_t'(t)
</math>
Вычислим очередную
производную сложной функции
- <math>\ y_{xx}(x)=(y_x'(x))_x'=(y_t'(t)t_x')_x'=
y_{tt}(t)t_x't_x'+y_t'(t)t_{xx}=
y_{tt}(t)\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2}+y_t'(t)(-\alpha^2) (\alpha x + \beta )^{-2}
</math>,
что приводит к
- <math>\ (\alpha x + \beta )^2 y_{xx}(x)=\alpha^2 (y_{tt}(t)- y_t'(t))
</math>.
и далее
- <math>\ y_{xxx}'(x)=(y_{xx}(x))_x'=(y_{tt}(t)(t_x')^2+y_t'(t)t_{xx})_x'=
y_{ttt}(t)t_x'(t_x')^2 + y_{tt}(t)2t_x't_{xx} +
y_{tt}(t)t_x't_{xx} +y_t'(t)t_{xxx}=
</math>
- <math>\ = y_{ttt}(t)(t_x')^3 + 3y_{tt}(t)t_x't_{xx} + y_t'(t)t_{xxx}=
y_{ttt}(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} -
3y_{tt}(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} +
2y_t'(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3}
</math>
что, аналогично, приводит к
- <math>\ (\alpha x + \beta )^3 y_{xxx}(x)= \alpha^3 (y_{ttt}(t)-3y_{tt}(t)+2y_t'(t))
</math>
Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n
Пример
Дано неоднородное уравнение
- <math>\ (2x-1)^3y'(x)+4(2x-1)^2y(x)-8(2x-1)y'(x)=32\ln (2x-1)</math>.
Определив подстановку <math>\ t=\ln (2x-1)</math> <math>\ \left( (2x-1)=e^t \right) </math>,
приходим к уравнению
- <math>\ 8(y(t)-3y(t)+2y'(t))+4\cdot 4(y(t)- y'(t)) - 8\cdot 2y'(t)=32t</math>.
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
- <math>\ y'(t)-y(t)-2y'(t)=4 t</math>,
решение которого имеет вид
- <math>\ y(t)=c_1e^{-1t}+c_2e^{2t}+c_3+t-t^2</math>
или в терминах <math>\ x</math>
- <math>\ y(x)=c_1(2x-1)^{-1}+c_2(2x-1)^{2}+c_3+ln (2x-1)-ln(2x-1)^2</math>
Уравнение второго порядка
Общий вид уравнения :
- <math>\ a_2 (\alpha x + \beta )^2 y(x) + a_1 (\alpha x + \beta ) y'(x) + a_0 y(x) = f(x)
</math>.
Его частный случай :
- <math>\ a_2 x^2 y(x) + a_1 x y'(x) + a_0 y(x) = f(x)
</math>.
Подстановкой
<math>\ (\alpha x + \beta ) = e^t</math> то есть <math>\ t = \ln (\alpha x + \beta )</math>
или, соответственно,
- <math>\ x = e^t</math> то есть <math>\ t = \ln x </math>
приводится к виду
линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- <math>\ a_2 \alpha^2 y(t) + a_1 \alpha y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)
</math>.
или, соответственно,
- <math>\ a_2 y(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)
</math>.
Пример
Дано неоднородное уравнение
- <math>\ x^2y(x)-2xy'(x)+2y(x)=6x</math>.
Определив подстановку <math>\ t=\ln x</math> (<math>\ x=e^t</math>),
приходим к уравнению
- <math>\ (y(t)- y'(t))- 2y'(t) + 2y(t)=6e^t</math>.
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
- <math>\ y(t)- 3y'(t) + 2y(t)=6e^t</math>,
решение которого имеет вид
- <math>\ y(t)=c_1e^{+1t}+c_2e^{+2t}-6te^{+1t}</math>
или в терминах <math>\ x</math>
- <math>\ y(x)=c_1x+c_2x^{2}-6x\ln x</math>
Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка
Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:
- <math>\ x^2 y(x) + p x y'(x) + q y(x) = 0
</math>.
Его решениями являются функции вида:
<math>\ y(x) = x^r
</math>,
где <math>r</math> — корни характеристического уравнения
- <math>\ r^2 + (p - 1)r + q = 0
</math>,
которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами,
полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут
<math>\ x^r </math> и <math>\ \ln(x) x^r </math>
Пример
Дано однородное уравнение
- <math>\ x^2y(x)-2xy'(x)+2y(x)=0</math>.
Характеристическое уравнение которого имеет вид
- <math>\ r^2 + (-2 - 1)r + 2 = 0 \Leftrightarrow r^2 -3r + 2 = 0
</math>,
с решениями <math>\ r_1=1</math>, <math>\ r_2=2</math>.
Тогда общее решение однородного уравнения
- <math>\ y(x)=c_1x+c_2x^{2}</math>
