Русская Википедия:Уравнение Кэли — Дарбу

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнение Кэли — Дарбу́ — дифференциальное уравнение с частными производными третьего порядка, которому должна удовлетворять функция <math>u(x_{1},x_{2},x_{3})</math> для того, чтобы семейство поверхностей <math>u(x_{1},x_{2},x_{3})=const</math> могло быть дополнено до трижды ортогональной системы поверхностей.

Получены Артурoм Кэли и Гастоном Дарбу.

Формулировка

Уравнение Кэли — Дарбу может быть записано как равенство нулю следующего определителя:

<math>\begin{vmatrix}

c_{11} & c_{22} & c_{33} & 2c_{12} & 2c_{23} & 2c_{31} \\ u_{11} & u_{22} & u_{33} & 2u_{12} & 2u_{23} & 2u_{31} \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ u_{1} & 0 & 0 & u_{2} & 0 & u_{3} \\ 0 & u_{2} & 0 & u_{1} & u_{3} & 0 \\ 0 & 0 & u_{3} & 0 & u_{2} & u_{1} \\ \end{vmatrix}=0,</math> где

<math>c_{\alpha\beta}=\sum_{k=1}^3 (u_{k} u_{\alpha\beta k} - 2u_{\alpha k} u_{\beta k})</math> ,

a

<math>u_{k}=u_{x_{k}},\cdots , u_{\alpha\beta\gamma}=u_{x_{\alpha }x_{\beta}x_{\gamma}}</math> .