Русская Википедия:Уравнение Ландау — Лифшица (магнетизм)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Шаблон:Электродинамика Уравне́ние Ланда́у — Ли́фшица — уравнение, описывающее движение намагниченности в приближении континуальной модели в твердых телах. Впервые введено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 году.

Формулировка

Для бездиссипативной среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде

<math>\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}],\qquad (1)</math>

где <math>\mathbf M\equiv \mathbf M(\mathbf r, t)</math> — плотность магнитного момента (намагниченность), <math>\gamma</math> — некоторая феноменологическая постоянная, <math>\mathbf H^{\mathrm{eff}}\equiv \mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t)</math> — так называемое эффективное магнитное поле.

Уравнение в основном используется для ферро- и ферримагнетиков. В общем случае постоянная <math>\gamma</math> не совпадает с гиромагнитным отношением и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом орбитальных моментов. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в <math>S</math>-состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют), <math>\gamma</math> можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности. Это выполняется для CdCr₂Se₄, железо-иттриевого граната Y₃Fe₅O₁₂, пермаллоя Fe_20+xNi_80-x и большинства др. ферро- и ферримагнитных материалов.

Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная свободной энергии по магнитному моменту

<math>\mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t) = -\frac{\delta F}{\delta \mathbf M}.\qquad (2)</math>

В случае, когда рассматривается магнетик вдали от температуры Кюри или при нулевой температуре, то свободная энергия <math>F</math> равна внутренней <math>E</math>.

В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на <math>\mathbf M</math>, что даст

<math>\frac{\partial \mathbf M^2}{\partial t} = 0.\qquad (3)</math>

Этот факт дает основание говорить о прецессии намагниченности.

Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен, поэтому часто постулируется возможность формального перехода от уравнения движения оператора спина <math>\mathbf S_n</math>

<math>i\hbar\frac{\partial \mathbf S_n}{\partial t} = [\mathcal H, \mathbf S_n],\qquad (4)</math>

к уравнению (1) путём замены <math>\mathbf S_n\to -\frac{a^3}{2\mu_B}\mathbf M(\mathbf r_n)</math> и разложения поля намагниченности <math>\mathbf M(\mathbf r_{n+n_0})</math> вблизи точки <math>\mathbf r_n</math> в ряд Тейлора. Тут <math>[\bullet,\bullet]</math> — коммутатор, <math>\mathcal H</math> — гамильтониан, <math>\mathbf S_n</math> — оператор спина для n-го узла решетки, а <math>\mathbf r_n</math> — его радиус-вектор, <math>a</math> — постоянная решетки, <math>\mu_B</math> — магнетон Бора.

Модификации

Учет диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближенного описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведенных форм. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.

Релаксационный член в форме Ландау — Лифшица

Ландау и Лифшиц предложили следующую модификацию:

<math>\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \frac{|\gamma|\lambda}{M^2}\left[\mathbf M \times [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}]\right],\qquad (5)</math>

где <math>\lambda</math> — параметр диссипации. Иногда за параметр диссипации принимают величину <math>\lambda_1=|\gamma|\lambda</math>.

Уравнение Ландау — Лифшица — Гильберта

Часто используется релаксационный член в форме Гильберта:

<math>\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] + \frac{\alpha}{M}\left[\mathbf M \times \frac{\partial \mathbf M}{\partial t}\right],\qquad (6)</math>

где <math>\alpha</math> — параметр диссипации. Формальный переход между уравнениями (5) и (6) можно совершить заменой

<math>\gamma\to \frac{\gamma}{1+\alpha^2},\quad \lambda\to \frac{\alpha M}{1+\alpha^2}.\qquad (7)</math>

В связи с отрицательным значением гиромагнитного отношения встречаются определения параметров релаксации с противоположными знаками в (5) и (6).

Уравнение Блоха — Бломергена

Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности может служить модифицированное уравнение Блоха или уравнение Блоха — Бломергена:

<math>\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = -|\gamma|[\mathbf M\times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \omega_r(\mathbf M - \chi_0 \mathbf H^{\mathrm{eff}}),\qquad (8)</math>

где <math>\chi_0</math> — так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а <math>\omega_r</math> — частота релаксации.

Влияние спин-поляризированного тока

Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида <math>|\gamma|\mathbf T</math>. Один из подходов к его конкретизации состоит в разложении вектора <math>|\gamma|\mathbf T</math> по осям, направленным вдоль <math>\mathbf M</math>, <math>[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]</math> и <math>\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]</math>. Тут <math>\mathbf m_{\mathrm{ref}}</math> — единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие

<math>\mathbf T_{\parallel} = - \frac{|\gamma|a_J}{M_s}\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\quad \mathbf T_{\perp} = |\gamma|b_J[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\qquad (9)</math>

где коэффциценты <math>a_J</math> и <math>b_J</math> пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризирующей структуры и угла между <math>\mathbf M</math> и <math>\mathbf m_{\mathrm{ref}}</math>.

Другие формы записи

Для аналитического анализа, чаще всего уравнение Ландау — Лифшица записывается в угловых переменных сферической системы координат <math>\theta</math> и <math>\phi</math>. В таком случае вектор намагничености можно представить как

<math>M_x + iM_y=M_s\sin\theta e^{i\phi},\quad M_z = M_s\cos\theta,</math>

где <math>M_s</math> — намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (6) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности <math>\delta \mathbf M</math>, выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов получим

<math>\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta}.\qquad (10)</math>

Получение уравнений в угловых переменных содержащих дополнительные члены проделывается аналогично. Так для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем

<math>\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi} - \alpha\sin^2\theta \frac{\partial \phi}{\partial t},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta} + \alpha \frac{\partial \theta}{\partial t}.\qquad (11)</math>

См. также

• Ландау, Лев Давидович
• Лифшиц, Евгений Михайлович
• Ферромагнетики
• Ферримагнетики

Литература

• Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
• Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с.,  ISBN 5-02-014366-9.
• Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
• Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, С. 153-169.
• Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
• Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
• Шаблон:Книга

Ссылки

• OOMMF — The Object-Oriented Micromagnetic Framework — свободно распространяемый программный пакет для микромагнитного моделирования, написанный на C++ и Tcl/Tk.
• Ферромагнитные домены