Русская Википедия:Уравнение Ланжевена
Шаблон:Статистическая физика Уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.
Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение <math>\mathbf a</math> броуновской частицы массы <math>m</math> выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы <math>\mathbf v</math> (закон Стокса), шумового члена <math>\boldsymbol\eta(t)</math> (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и <math>\mathbf \Phi (\mathbf x)</math> — систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:
- <math>m\mathbf{a} = m\frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf \Phi(\mathbf x) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol\eta(t).</math>
Решение уравнения
Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.
- <math>m \ddot x = - \frac {1}{B} \dot x + F(t)</math>
Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:
- <math> \langle F(t) \rangle = 0 </math>
- <math> \langle F(t_1) F(t_2) \rangle = b \delta(t_1 - t_2) </math>
где b — некоторая константа, которую мы определим позже, <math> \delta(t_1 - t_2) </math> — дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: её автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.
Перепишем уравнение в терминах скорости:
- <math> \dot v = - \lambda v + \frac Fm </math>, где <math>\lambda=\frac {1}{mB}</math>
Пусть в начальный момент времени <math> t=t_0 </math> частица имела скорость <math> v_0 </math>. Будем искать решение в виде: <math> v(t)=u(t) \exp(-\lambda t)</math>, тогда для <math> u(t)</math> получим следующее дифференциальное уравение:
- <math> \dot u(t) = \exp(\lambda t) \frac Fm </math>
В итоге, получаем искомое выражение для скорости:
- <math>v(t) = v_0 \exp(-\lambda t) + \exp(-\lambda t) \int\limits_0^t \frac{F(\tau)}{m}\exp(\lambda \tau)d\tau</math>
Из него следуют два важных соотношения:
- <math> \langle v(t) \rangle = v_0 \exp(-\lambda t) </math>. То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
- <math> \langle v^2(t) \rangle = v_0^2 \exp(-2\lambda t) + \frac{b}{2 \lambda m^2} \left(1-\exp(-2\lambda t)\right)</math>. Средний квадрат скорости со временем стремится к значению <math> \frac{b}{2 \lambda m^2} </math>. Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента <math> b </math>:
- <math> b = 2 \frac{k_B T}{B} </math>
Преобразованием исходного выражения можно получить, что:
- <math> \frac {d\left\langle x^2(t) \right\rangle}{dt} = \frac{2}{\lambda}\left\langle\left( \frac{dx}{dt} \right)^2\right\rangle</math>
- <math> \left\langle \mathbf x^2 \right\rangle = 6 k_B T B t</math>
Откуда следует соотношение Эйнштейна:
- <math> D = k_B T B </math>
где B — подвижность броуновской частицы.
Ссылки
- W. T. Coffey, Yu. P. Kalmykov, J. T. Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics — Vol 14. (The First Edition is Vol 10)
- Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation
