Русская Википедия:Уравнение Лейна — Эмдена
Уравнение Лейна — Эмдена в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Уравнение носит название по фамилиям астрофизиков Джонатана Лейна и Роберта Эмдена.[1] Уравнение имеет вид
- <math> \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0, </math>
где <math>\xi</math> — безразмерный радиус, <math>\theta</math> связано с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением <math>\rho=\rho_c\theta^n</math> для центральной плотности <math>\rho_c</math>. Показатель <math>n</math> является индексом политропы, упоминаемым в политропном уравнении состояния
- <math> P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}}\, </math>
где <math>P</math> и <math>\rho</math> — давление и плотность, <math>K</math> — коэффициент пропорциональности. Стандартные начальные условия: <math>\theta(0)=1</math> и <math>\theta'(0)=0</math>. Решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и представляют политропы с индексом <math>n</math>. Если вместо политропного вещества рассматривается изотермическое, то уравнение называют уравнением Чандрасекара.
Применение
В физическом смысле гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, уравнение Пуассона связывает потенциал и плотность. Следовательно, если существует уравнение, связывающее изменение давления с изменением плотности, то можно получить решение данной задачи. Выбор политропного газа, рассматриваемого в задаче, обеспечивает краткое формулирование задачи и приводит к уравнению Лейна — Эмдена. Уравнение является важной аппроксимацией для параметров самогравитирующих шаров плазмы, таких как звёзды, но всё же это приближение налагает ограничения на модель.
Вывод уравнения
Из условия гидростатического равновесия
Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:
- <math> \frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho, </math>
где <math>\rho</math> является функцией <math>r</math>. Уравнение гидростатического равновесия имеет вид
- <math> \frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm}{r^2}, </math>
где <math>m</math> также является функцией <math>r</math>. Повторное дифференцирование приводит к выражению
- <math>\begin{align}
\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}\right) &= \frac{2Gm}{r^3}-\frac{G}{r^2}\frac{dm}{dr} \\ &=-\frac{2}{\rho r}\frac{dP}{dr}-4\pi G\rho, \end{align}</math>
где для замены градиента массы было применено уравнение непрерывности. Домножаем обе части равенства на <math>r^2</math> и переносим слагаемые с производными <math>P</math> в левой части:
- <math> r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)+\frac{2r}{\rho}\frac{dP}{dr}
= \frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)=-4\pi Gr^2\rho. </math>
Делим обе части на <math>r^2</math>, при этом получается в некотором смысле размерная форма требуемого уравнения. Если заменить политропное уравнение состояния на <math>P=K\rho_c^{1+\frac{1}{n}}\theta^{n+1}</math> и <math>\rho=\rho_c\theta^n</math>,то равенство примет вид
- <math> \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2K\rho_c^\frac{1}{n}(n+1)\frac{d\theta}{dr}\right)=-4\pi G\rho_c\theta^n.</math>
Выполним подстановку <math>r=\alpha\xi</math>, где
- <math>\alpha^2=(n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}-1}/4\pi G,</math>
при этом получим уравнение Лейна — Эмдена,
- <math> \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0. </math>
Из уравнения Пуассона
Аналогично, можно начать вывод с уравнения Пуассона:
- <math> \nabla^2\Phi=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left( r^2\frac{d\Phi}{dr} \right) = 4\pi G\rho. </math>
Можно заменить градиент потенциала с помощью уравнения гидростатического равновесия:
- <math> \frac{d\Phi}{dr}= - \frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}, </math>
что снова даёт размерную форму искомого уравнения.
Решения
Для заданного значения индекса политропы <math>n</math> обозначим решение уравнения как <math>\theta_n(\xi)</math>. В общем случае уравнение приходится решать численно для определения <math>\theta_n</math>. Существуют точные аналитические решения для определённых значений <math>n</math>, в частности для <math>n = 0,1,5</math>. Для <math>n</math> между 0 и 5 решения непрерывны и конечны по протяжённости, радиус звезды задаётся выражением <math>R = \alpha \xi_1 </math>, где <math>\theta_n(\xi_1) = 0</math>.
Для данного решения <math>\theta_n</math> профиль плотности задаётся выражением
- <math> \rho = \rho_c \theta_n^n </math>.
Полную массу <math>M</math> модельной звезды можно найти при интегрировании плотности по радиусу от 0 до <math>\xi_1</math>.
Давление можно определить при помощи политропного уравнения состояния <math>P = K \rho^{1+\frac{1}{n}} </math>, то есть
- <math> P = K \rho_c^{1+\frac{1}{n}} \theta_n^{n+1}.</math>
Наконец, если газ является идеальным, то уравнение состояния имеет вид <math>P = k_B\rho T/\mu</math>, где <math>k_B</math> — постоянная Больцмана, <math>\mu</math> — средний молекулярный вес. Профиль температуры выглядит следующим образом:
- <math> T = \frac{K\mu}{k_B} \rho_c^{1/n} \theta_n. </math>
Точные решения
В случае сферически-симметричного распределения вещества уравнение Лейна — Эмдена интегрируется только для трёх значений индекса политропы <math>n</math>.
n = 0
Если <math>n=0</math>, уравнение имеет вид
- <math> \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left( \xi^2 \frac{d\theta}{d\xi} \right) + 1 = 0. </math>
Перегруппируем слагаемые и проинтегрируем:
- <math> \xi^2\frac{d\theta}{d\xi} = C_1-\frac{1}{3}\xi^3. </math>
Поделим обе части на <math>\xi^2</math>, проинтегрируем:
- <math> \theta(\xi)=C_0-\frac{C_1}{\xi}-\frac{1}{6}\xi^2. </math>
Граничные условия <math>\theta(0)=1</math> и <math>\theta'(0)=0</math> предполагают, что постоянные интегрирования равны <math>C_0=1</math> и <math>C_1=0</math>. Следовательно,
- <math> \theta(\xi) = 1 - \frac{1}{6}\xi^2.</math>
n = 1
Если <math>n=1</math>, уравнение можно представить в виде
- <math> \frac{d^2\theta}{d\xi^2}+\frac{2}{\xi}\frac{d\theta}{d\xi} + \theta = 0. </math>
Предположим, что решение можно представить в виде ряда
- <math> \theta(\xi)=\sum_{n=0}^\infty a_n \xi^n. </math>
В таком случае получается рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения:
- <math> a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+3)(n+2)}. </math>
Данное соотношение можно решить, получив общее решение:
- <math> \theta(\xi)=a_0 \frac{\sin\xi}{\xi} + a_1 \frac{\cos\xi}{\xi}. </math>
Граничное условие для физической политропы требует, чтобы <math> \theta(\xi) \rightarrow 1</math> при <math> \xi \rightarrow 0 </math>. Тогда <math> a_0 = 1, a_1 = 0 </math>, что даёт решение в виде
- <math> \theta(\xi)=\frac{\sin\xi}{\xi}. </math>
n = 5
Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена:
- <math> \frac1{\xi^2} {\frac{d}{d\xi}} \left(\xi^2\frac{d\theta}{d\xi}\right) + \theta^5 = 0. </math>
Для <math> \frac{d\theta}{d\xi} </math> получим
- <math> \frac{d\theta} {d\xi} = \frac1 2 \left(1+\frac{\xi^2}{3}\right)^{3/2} \frac{2\xi} 3 = \frac {\xi^3}{3[1+\frac {\xi^2} 3]^{3/2}}.
</math>
Дифференцируем по ξ:
- <math> \theta^5 =\frac{\xi^2}{[1+\frac{\xi^2}{3}]^{3/2}} + \frac{3\xi^2}{9[1+\frac{\xi^2}3]^{5/2}} = \frac 9 {9[1+\frac{\xi^2}3]^{5/2}}.
</math>
После упрощения получаем
- <math> \theta^5 = \frac {1} {[1+\frac{\xi^2}3]^{5/2}}.
</math>
Таким образом, уравнение имеет решение
- <math> \theta(\xi)=\frac{1}{\sqrt{1+\xi^2/3}} </math>
при <math>n=5</math>. Данное решение финитно по массе, но бесконечно по радиусу, следовательно, данная политропа не имеет физического решения.
Численные решения
В общем случае решения находят методами численного интегрирования. Многие стандартные методы предполагают, что задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например,
- <math> \frac{d\theta}{d\xi}=-\frac{\phi}{\xi^2}, </math>
- <math> \frac{d\phi}{d\xi}=\theta^n\xi^2. </math>
Здесь <math>\phi(\xi)</math> представляет собой безразмерную массу, определяемую как <math>m(r)=4\pi\alpha^3\rho_c\phi(\xi)</math>. Соответствующими начальными условиями являются <math>\phi(0)=0</math> и <math>\theta(0)=1</math>. Первое уравнение представляет собой уравнение гидростатического равновесия, второе — закон сохранения массы.
Гомологические переменные
Гомологически инвариантное уравнение
Известно, что если <math>\theta(\xi)</math> является решением уравнения Лейна—Эмдена, то и <math>C^{2/n+1}\theta(C\xi)</math> является решением.[2] Решения, связанные подобным образом, называются гомологичными, процесс перехода между ними — гомологией. Если переменные выбираются инвариантными по отношению к гомологии, томы можем уменьшить порядок уравнения на единицу.
Существует множество таких переменных. Одним из удобных вариантов является следующий:
- <math>U=\frac{d\log m}{d\log r}=\frac{\xi^3\theta^n}{\phi}</math>
и
- <math>V=\frac{d\log P}{d\log r}=(n+1)\frac{\phi}{\xi\theta}.</math>
После дифференцирования логарифмов данных переменных по <math>\xi</math> получим выражения
- <math>\frac{1}{U}\frac{dU}{d\xi}=\frac{1}{\xi}(3-n(n+1)^{-1}V-U)</math>
и
- <math>\frac{1}{V}\frac{dV}{d\xi}=\frac{1}{\xi}(-1+U+(n+1)^{-1}V)</math>.
Затем разделим переменные на два уравнения для устранения зависимости от <math>\xi</math>, после чего получим выражение
- <math>\frac{dV}{dU}=-\frac{V}{U}\left(\frac{U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}\right),</math>
являющееся уравнением первого порядка.
Топология гомологически инвариантного уравнения
Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений
- <math>\frac{dU}{d\log\xi}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)</math>
и
- <math>\frac{dV}{d\log\xi}=V(U+(n+1)^{-1}V-1).</math>
Поведение решений данных уравнений можно определить при анализе линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где <math>dV/d\log\xi=dU/d\log\xi=0</math>) и собственные значения и векторы матрицы Якоби указаны в таблице ниже.[3]
- <math>
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{Критические точки} & \text{Собственные числа} & \text{Собственные векторы} \\ \hline (0,0) & 3, -1 & (1,0), (0,1) \\ (3,0) & -3,2 & (1,0), (-3n,5+5n) \\ (0,n+1) & 1, 3-n & (0,1), (2-n,1+n) \\ \left(\dfrac{n-3}{n-1},2\dfrac{n+1}{n-1}\right) & \dfrac{n-5\pm\Delta_n}{2-2n} & (1-n\mp\Delta_n,4+4n) \\ \hline \end{array} </math>
Литература
Примечания
Ссылки
