Русская Википедия:Уравнение Линдблада

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Квантовая механика Уравнение Линдблада (реже: уравнение Горини — Коссаковского — Сударшана — Линдблада, Шаблон:Lang-en или уравнение Шаблон:Lang-en: Franke — Gorini — Kossakowski — Lindblad — Sudarshan, связанное с именем В. А. Франке) — уравнение для матрицы плотности, является наиболее общим видом марковского производящего уравнения, описывающего неунитарную (диссипативную, негамильтонову) эволюцию матрицы плотности <math>\rho</math>. Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением (супероператором), сохраняющим след. Предложено в 1976 году Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, Джорджем Сударшаном[1] и Шаблон:Nowrap[2].

Уравнение Линдблада для матрицы плотности может быть записано в виде:

<math>\frac d{dt} \rho = \frac 1{i\hbar} [H,\rho ] + \frac 1{2\hbar} \sum^\infty_{k=1} \big([V_k \rho, V^\dagger_k] +[V_k, \rho V^\dagger_k] \big), </math>

где <math>\rho</math> — матрица плотности, <math>H</math> — оператор Гамильтона, <math>V_k</math> — некие операторы. Если операторы <math>V_k</math> равны нулю, то уравнение Линдблада переходит в уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля).

Уравнением Линдблада называют также уравнение для квантовой наблюдаемой. Это уравнение имеет вид:

<math>\frac d{dt} A = -\frac 1{i\hbar} [H, A] + \frac 1{2\hbar} \sum^\infty_{k=1} \big(V^\dagger_k [A, V_k] + [V^\dagger_k, A] V_k \big),</math>

где <math>A</math> — квантовая наблюдаемая. Если операторы <math>V_k</math> равны нулю, то уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой <math>A</math> переходит в уравнение Гейзенберга

Уравнение Линдблада, называемое также квантовым марковским уравнением, применяется для описания открытых, диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Важным частным случаем уравнения Линдблада является модель случайных столкновений[3], в которой операторы <math>V_k</math> имеют вид: <math>V_{kl} = \hbar\gamma\sqrt{\tilde\rho_{kk}} |k\rangle \langle l|</math> (для удобства записи матричный индекс <math>\ k</math> заменен на двойной). Подстановка этих операторов приводит уравнение Линдблада к виду:

<math>\frac d{dt} \rho = \frac 1{i\hbar} [H,\rho ] + \gamma(\tilde\rho - \rho),</math>

где <math>\tilde\rho</math> — фиксированная диагональная матрица с ненулевыми элементами <math>\tilde\rho_{kk}</math>, такими, что <math>\operatorname{Tr}\tilde\rho = 1</math>, описывающая матрицу плотности термодинамически равновесного состояния системы. Модель случайных столкновений пригодна для случаев, когда взаимодействие квантовой системы с резервуаром происходит в режиме коротких и сильных импульсов, между которыми система эволюционирует как закрытая.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок gorini не указан текст
  2. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок lindblad не указан текст
  3. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок Ильинский не указан текст
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Уравнение_Линдблада&oldid=11062357