Русская Википедия:Уравнение Лондонов
Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 году братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 году было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.
Уравнение Лондона
В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввёл дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например, путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля[3] или в предположении абсолютной жёсткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.
Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид
- <math>\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \operatorname{rot} \mathbf{j} + \mathbf{B} = 0,</math>
где <math>\mathbf{j}</math> — плотность тока, <math>\mathbf{B}</math> — магнитная индукция, <math>\lambda^2 = \frac{mc^2}{4 \pi n q^2}</math>, m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.
Лондоновская глубина проникновения
При помощи уравнения Максвелла <math>\operatorname{rot} \mathbf{B} = \frac{4 \pi \mathbf{j}}{c}</math> можно записать уравнение Лондона в виде[4]
- <math>\mathbf{B}' + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{B}' = 0,</math>
где B′ — производная вектора B по времени t. Этому уравнению удовлетворяет B = const. Но такое решение не согласуется с эффектом Мейсснера — Оксенфельда, так как внутри сверхпроводника должно быть поле B = 0. Лишнее решение получилось потому, что при выводе дважды применялась операция дифференцирования по времени. Чтобы автоматически исключить это решение, Лондоны ввели гипотезу, что в последнем уравнении производную B′ следует заменить самим вектором B. Это даёт
- <math>\mathbf{B} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{B} = 0.</math>
Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими <math>\lambda</math>, есть
- <math>\mathbf{B}(\xi) = \mathbf{B}(0) \exp \frac{-\xi}{\lambda},</math>
где <math>\mathbf{B}(\xi)</math> — индукция на глубине <math>\xi</math> под поверхностью. Параметр <math>\lambda</math> имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину <math>\lambda</math>. Для металлов <math>\lambda \sim 10^{-2}</math> мкм.
Природа сверхпроводимости
Уравнение Лондона даёт ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал <math>\mathbf{A}</math>, где <math>\operatorname{rot} \mathbf{A} = \mathbf{B}</math>, используя калибровку <math>\operatorname{div} \mathbf{A} = 0</math> и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме
- <math>\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \mathbf{j} + \mathbf{A} = 0.</math>
В присутствии векторного потенциала обобщённый импульс заряженной частицы даётся выражением
- <math>\mathbf{P} = \sum \mathbf{p} = 2 \sum \left(m \mathbf{v} + \frac{q \mathbf{A}}{c}\right)</math>.
Средний импульс на одну частицу можно записать в виде
- <math>\bar\mathbf{p} = \frac{q}{c} \left(\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \mathbf{j} + \mathbf{A}\right) = 0.</math>
Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом <math>\mathbf{P} = 0</math>. При этом из принципа неопределённости вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.
Первое уравнение Лондонов
Уравнение движения для единичного объёма сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид
- <math>n m \frac{d \mathbf{v}}{dt} = n e \mathbf{E},</math>
где <math>n</math>, <math>\mathbf{v}</math>, <math>m</math> — соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно<math>\mathbf{j} = n e \mathbf{v}</math>, получим первое уравнение Лондонов:
- <math>\mathbf{E} = \frac{d}{dt} (\Lambda \mathbf{j}), \quad \Lambda = \frac{m}{n e^2}.</math>
Второе уравнение Лондонов (вывод)
Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде
- <math>\operatorname{rot} \mathbf{H} = \frac{4 \pi}{c} \mathbf {j}</math>
для нахождения объёмной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:
- <math>\mathbf{W}_k = \frac{nmv^2}{2} = \frac{mj^2}{2ne^2} = \frac{\lambda^2}{8 \pi} (\operatorname{rot} \mathbf{H})^2,</math>
где <math>\lambda^2 = \frac{m c^2}{4\pi n e^2}.</math>
Также объёмная плотность магнитной энергии равна <math>\frac{H^2}{8 \pi}</math>, тогда свободная энергия может быть записана в виде (<math>F_0</math> — свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объёму сверхпроводника:
- <math>F = F_0 + \frac{1}{8\pi} \int [H^2 + \lambda^2 (\operatorname{rot} \mathbf{H})^2] \,dV.</math>
Первая вариация по полю равна
- <math>\delta F = \frac{1}{8\pi} \int [2 \mathbf{H} \,\delta\mathbf{H} + 2\lambda^2 \operatorname{rot} \mathbf{H} \operatorname{rot} \delta\mathbf{H}] \,dV = \frac{1}{4\pi} \int [\mathbf{H} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{H}] \,\delta\mathbf{H} \,dV - \frac{\lambda^2}{4\pi} \int \operatorname{div} [\operatorname{rot} \mathbf{H}; \delta\mathbf{H}] \,dV = 0.</math>
Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса — Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем
- <math> \mathbf{H} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{H} = 0,</math>
что вместе с выражением для векторного потенциала <math>\mathbf{j} = -\frac{c}{4\pi\lambda^2} \mathbf{A}</math>, первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов <math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) = 0</math>, <math>\mathbf{A} \mathbf{n} = 0</math> даёт искомое уравнение:
- <math>\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \operatorname{rot} \mathbf{J} + \mathbf{B} = 0.</math>
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ F. London, Superfluids, Vol. 1. Wiley, New York, 1950.
- ↑ P. G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York. 1966 (см. перевод: М., «Мир», 1968).
- ↑ Шаблон:Книга
