Русская Википедия:Уравнение Мещерского

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения термина Уравне́ние Меще́рского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским в 1897 году для материальной точки переменной массы (состава).

Уравнение обычно записывается в следующем виде:

<math>M(t) \frac{d\mathbf v }{dt}=\mathbf u_1(t) \frac{dm_1}{dt}- \mathbf u_2(t)\frac{dm_2}{dt}+\mathbf F,</math>

где:

• <math>M(t)</math> — масса материальной точки, изменяющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой, в произвольный момент времени t;
• <math>\mathbf v</math> — скорость движения материальной точки переменной массы;
• <math>\mathbf F </math> — результирующая внешних сил, действующих на материальную точку переменной массы со стороны её внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.);
• <math>\mathbf u_1(t)=\mathbf v_1-\mathbf v</math> — относительная скорость присоединяющихся частиц;
• <math>\mathbf u_2(t)=\mathbf v_2-\mathbf v</math> — относительная скорость отделяющихся частиц;
• <math>\frac{dm_1}{dt}>0 </math> и <math>\frac{dm_2}{dt}>0</math> — скорость увеличения суммарной массы присоединившихся частиц и скорость увеличения суммарной массы отделившихся частиц соответственно.

Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения.

Величина:

<math>\mathbf F_r=\mathbf u_1\frac{dm_1}{dt}-\mathbf u_2\frac{dm_2}{dt}</math>

называется «реактивной силой».

Обычно уравнение Мещерского получают, основываясь на уравнении для скорости изменения импульса системы материальных точек, имеющем вид:

<math>\frac{d\vec {P}}{dt}= \vec F,</math>

где <math>\vec P</math> — импульс системы, равный сумме импульсов всех материальных точек, составляющих систему, а <math>\vec F</math> — равнодействующая всех внешних сил, действующих на тела системы. Ниже приведён вывод уравнения, использующий именно такой подход.

Шаблон:Сокрытие{dt}=\frac{dm_1}{dt}(\vec{v}_1-\vec{v})-\frac{dm_2}{dt}(\vec{v}_2-\vec{v}).\qquad(4)</math>

Введя относительные скорости частиц <math>\vec{u}_1</math> и <math>\vec{u}_2</math>, равные соответственно <math>(\vec{v}_1-\vec{v})</math> и <math>(\vec{v}_2-\vec{v})</math>, и добавив равнодействующую внешних сил <math>\vec{F}</math>, получим уравнение Мещерского в окончательном виде.}}

Релятивистское уравнение Мещерского

Первыми работами, посвященными исследованию движения ракет с учетом релятивистских эффектов, были работы Аккерета и Зенгера.

При выводе уравнения Мещерского, пригодного для случая скоростей, сравнимых со скоростью света, используется выражение для релятивистского импульса <math>\vec p=\frac{m\vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>. В результате уравнение приобретает вид:

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{M\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\vec{v}_1\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{m_1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)-\vec{v}_2\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{m_2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right).</math>

В этом уравнении в общем случае не вводятся относительные скорости <math>(\vec{v}_1-\vec{v})</math> и <math>(\vec{v}_2-\vec{v})</math>, так как в релятивистском случае сложение скоростей производится иначе.

Для случая только частиц, отделяющихся со скоростью коллинеарной скорости ракеты, это уравнение сводится к следующему виду:

<math>M\frac{dv}{dt}=-\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)u\frac{dM}{dt},</math>

где <math>u=\frac{v_2-v}{1-v_2\cdot v/c^2}</math> — скорость частиц относительно ракеты.

История открытия

Уравнение движения материальной точки переменной массы для случая присоединения (или отделения) частиц было получено и основательно исследовано в магистерской диссертации И. В. Мещерского, защищенной в Петербургском Университете 10 декабря 1897 года. Первое сообщение об уравнении движения материальной точки переменной массы в общем случае одновременного присоединения и отделения частиц было сделано И. В. Мещерским 24 августа 1898 года на заседании секции математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве, широкую известность оно получило позднее, после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в 1904 году.

Следует отметить, что по исследованиям Г. К. Михайлова, изложенным в его докторской диссертации и работе «Георг Бюкуа и начала динамики систем с переменными массами», аналогичное уравнение было установлено чешским учёным-любителем Георгом Бюкуа (1781—1851) ещё в работах 1812—1814 гг.

Литература

• Мещерский И. В. «Динамика точки переменной массы» // В кн. И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 2-е. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 280 с. стр.37-188.
• Мещерский И. В., «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае» // В кн. И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 2-е. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 280 с. стр.222-264.
• Михайлов Г. К. «К истории динамики систем переменного состава» Известия АН СССР: Механика твердого тела, 1975, № 5, с. 41-51.
• Михайлов Г. К. К истории динамики систем переменного состава и теории реактивного движения. М.: Ин-т проблем механики АН СССР, 1974.
• Карагодин В. М. Теоретические основы механики тела переменного состава. М.: Оборонгиз, 1963. 178с.
• Шаблон:Из
• Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Том 1. М.: Наука, 1977. Глава IV «Динамика точки переменной массы» Параграф 221. — Вывод уравнения Мещерского (стр.433-435).
• Айзерман М. А. Классическая механика. 2-ое изд. М.: Наука, 1980. — 368с. Глава 3. Параграф 9. Применение основных теорем механики к движению системы переменного состава. стр.107-120.
• Веретенников В. Г., Синицын В. А. Теоретическая механика (дополнения к общим разделам). — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 416 с. — ISBN 5-9221-0703-8 (Параграфы 2.5. Кинематика системы переменного состава. стр.71-77; 3.4. Основные динамические величины системы переменного состава. стр.91-94; 6.2. Задача о движении центра масс при взаимодействии тела с внешней сплошной средой. стр.170-172; 6.3. Теорема об изменении количества движения системы переменного состава. стр.172-180; 6.6. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к системе переменного состава. стр.200-207; 7.2. Общее уравнение аналитической динамики для системы точек переменной массы. стр.215-227.)
• Седов Л. И. К релятивистской теории полета ракеты // Прикладная математика и механика — 1986. — Т. 50, вып. 6.
• Седов Л. И., Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. — М.: Наука, 1989. — 272 с. — ISBN 5-02-013805-3. Глава III. параграф 4. Релятивистская теория полета ракеты.

Ссылки

• Бородовский В. Н. Отечественные ракеты. История и будущее