Русская Википедия:Уравнение Орнштейна — Цернике
Уравнение Орнштейна — Цернике — интегральное уравнение статистической механики для определения прямой корреляционной функции. Оно описывает, как может быть рассчитана корреляция между двумя молекулами, точнее корреляция плотности между двумя точками. Применение в основном обнаруживается в теории жидкости.
Уравнение названо в честь Шаблон:Iw и Фрица Цернике.
Вывод
Можно получить уравнение Орнштейна-Цернике из следующих эвристических соображений. Удобно ввести полную корреляционную функцию:
- <math> h(r_{12})=g(r_{12})-1</math>,
которая является мерой для «воздействия» молекулы 1 на молекулу 2, расположенную на расстоянии <math>r_{12}</math> от первой, в системе с радиальной функцией распределения <math>g(r_{12})</math>. В 1914 году Орнштейн и Цернике предложили разделить это влияние на два вклада: прямой и косвенный. Прямой вклад по определению задаётся прямой корреляционной функцией, обозначаемой <math>c(r_{12})</math>. Косвенный вклад связан с влиянием молекулы 1 на третью молекулу 3, которая, в свою очередь, влияет на молекулу 2, непосредственно. Такое опосредованное воздействие умножается на плотность и усредняется по всем возможным положениях координаты молекулы 3. Математически это можно записать в виде формулы
- <math> h(r_{12})=c(r_{12}) + \rho \int d \mathbf{r}_{3} c(r_{13})h(r_{23})</math>,
которая и называется уравнением Орнштейна — Цернике.
Точный вывод уравнения требует графического анализа и функциональных методов статистической физики.
Применение
Чтобы разрешить уравнение Орштейна — Цернике, в него добавляют еще одно приближённое уравнение, которое связывает <math>h(r)</math> с <math>c(r)</math>, полученное из модельных соображений. В результате получим одно интегральное или интегро-дифференциальное уравнение, из которого можно найти <math>h(r)</math>. Самые распространённые приближения:
- <math> c(r)=g(r)[e^{-\phi(r)/kT} - 1] e^{-\phi(r)/kT},</math>
- <math> c(r)=g(r) - 1 - \ln{g(r)} - \frac{\phi(r)}{kT}.</math>
В рамках теории Орштейна — Цернике можно, не вдаваясь в детальный вид функции <math>c(r)</math>, а предположив лишь, что она является короткодействующей, описать асимптотику поведения <math>h(r)</math> при <math>r \rightarrow \infty</math>:
- <math>h(r) \rightarrow \frac {e^{-r/R_c}} {r}</math>
с некоторым характерным параметром <math>R_c</math> (радиусом корреляции).
Ссылки
- The Ornstein-Zernike equation and integral equations
- Multilevel wavelet solver for the Ornstein-Zernike equation Abstract
- Analytical solution of the Ornstein-Zernike equation for a multicomponent fluid
- The Ornstein-Zernike equation in the canonical ensemble
- Ornstein-Zernike Theory for Finite-Range Ising Models Above TcШаблон:Недоступная ссылка
- Р. Балеску, Равновесная и неравновесная статистическая механика. Том 1, М:Мир, 1978
