Русская Википедия:Уравнение Паули
Шаблон:Квантовая механика Уравнение Паули — уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено Паули в 1927 году. Не путать с основным кинетическим уравнением, также иногда называемым уравнением Паули.
Уравнение Паули является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы собственного механического момента импульса — спина. Частица со спином 1/2 может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина +1/2 и −1/2 на некоторое (произвольно выбранное) направление, принимаемое обычно за ось z. В соответствии с этим волновая функция частицы <math>\psi (r,t)</math> (где r — координата частицы, t — время) является двухкомпонентной:
- <math>
\psi (r,t)=\begin{pmatrix} \psi_1 (r,t)\\ \psi_2 (r,t) \end{pmatrix}. </math>
При поворотах координатных осей <math>\psi_1</math> и <math>\psi_2</math> преобразуются как компоненты спинора. В пространстве спинорных волновых функций скалярное произведение <math>\psi</math> и <math>\psi'</math> имеет вид
- <math> ( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr, </math>
Операторы физических величин являются матрицами 2х2, которые для величин (наблюдаемых), не зависящих от спина, кратны единичной матрице.
В силу общих законов электродинамики электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом <math> \vec{s} </math> обладает и магнитным моментом, пропорциональным <math> \vec{s} </math>: <math> \vec{ \mu}=g \vec{s} </math> (g — гиромагнитное отношение). Для орбитального момента <math>g={e \over 2mc}</math>, где e — заряд, m — масса частицы; спиновое гиромагнитное отношение оказывается в два раза большим: <math>g={e \over mc}</math>. Во внешнем магнитном поле напряжённости <math> \vec{B} </math> магнитный момент обладает потенциальной энергией <math> U=- \vec{ \mu}\ \vec{B} </math>, добавление которой в гамильтониан H электрона во внешнем электронно-магнитном поле с потенциалами <math> \phi </math> и A приводит к уравнению Паули:
- <math>i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi </math>
где <math> \hat p</math> — оператор импульса, <math>\hat I</math> — единичный оператор, а <math>\hat \sigma</math> пропорционален оператору спина: <math>\hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma</math>.
Предложенное первоначально на основе эвристических соображений уравнение Паули оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного уравнения Дирака в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются лишь первые члены разложения по обратным степеням скорости света. Если напряжённость внешнего магнитного поля не зависит от пространственных координат, то орбитальное движение частицы и изменение ориентации её спина происходят независимо. Волновая функция при этом имеет вид <math> \psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t)</math>, где <math> \Phi (r,t)</math> — скалярная функция, подчиняющаяся уравнению Шрёдингера, а спинор <math> \chi= \begin{pmatrix} \chi_1\\ \chi_2 \end{pmatrix} </math> удовлетворяет уравнению
- <math>i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi. </math>
Из этого уравнения следует, что среднее значение спина <math> \lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi ) </math> прецессирует вокруг направления магнитного поля:
- <math> \frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang]. </math>
Здесь <math> \omega_B = {eB \over mc} </math> — циклотронная частота, <math> \vec{n} </math> — единичный вектор вдоль магнитного поля. На основе уравнения Паули может быть рассчитано расщепление уровней электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учётом спина (эффект Зеемана). Однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учёте более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака по обратным степеням скорости света.
Литература
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62.
- Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63.
- Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.—Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с.
- Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Квантовая электродинамика
- Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия, 1992. — Т. 3. Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. — 672 с.
См. также
