Русская Википедия:Уравнение Пуассона
Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает
- электростатическое поле,
- гравитационное поле,
- стационарное поле температуры,
- поле давления,
- поле потенциала скорости в гидродинамике.
Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.
Это уравнение имеет вид:
- <math>\Delta \varphi = f,</math>
где <math>\varphi</math> — искомая функция, <math>\Delta</math> — оператор Лапласа, или лапласиан, а <math>f</math> — заданная вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.
В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:
- <math>
\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z). </math>
В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме <math>\nabla^2</math> (<math>\nabla</math> — оператор набла) и уравнение Пуассона принимает вид:
- <math>{\nabla}^2 \varphi = f.</math>
Уравнение Пуассона с <math>f \equiv 0</math> называется уравнением Лапласа:
- <math>\Delta \varphi = 0.</math>
Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».
Уравнение Пуассона в электростатике
Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Оно широко используется для нахождения электростатического потенциала <math>\phi(\mathbf{r})</math> (<math>\mathbf{r} = x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}</math> — радиус-вектор) для известного распределения заряда.
В единицах системы СИ:
- <math>{\nabla}^2 \phi = - {\rho \over \varepsilon_0},</math>
где <math> \phi</math> — электростатический потенциал (в вольтах), <math> \rho</math> — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а <math> \varepsilon_0</math> — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр). То есть в данном случае роль искомой функции <math>\varphi</math> играет <math>\phi</math>, а роль функции <math>f</math> перенимает <math>-\rho(\mathbf{r})/\varepsilon_0</math>.
В единицах системы СГС то же электростатическое уравнение Пуассона записывается как <math>{\nabla}^2 \phi = - {4 \pi \rho}.</math>. Ниже используется только СИ.
Вывод уравнения для потенциала
Уравнение выводится из закона Гаусса (<math>\mathrm{div}\,\mathbf{E} \equiv \nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho \over \varepsilon_0})</math> и определения статического потенциала (<math>\mathbf{E} = -\nabla \phi</math>)[1]:
- <math> {\rho \over \varepsilon_0} = \nabla \cdot \mathbf{E} = \nabla \cdot ( - \nabla \phi ) = - \nabla \cdot \nabla \phi = - \nabla^2 \phi.</math>
В области пространства, где нет «непарной» плотности заряда, а именно локальные положительные заряды скомпенсированы локальными отрицательными (допустим, ионный заряд локально скомпенсирован электронным):
- <math>\rho = 0,</math>
и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:
- <math>{\nabla}^2 \phi = 0.</math>
Случай точечного заряда и обобщение
Известно, что потенциал, источником которого служит точечный электрический заряд <math>q</math>, имеет вид
- <math>\phi_q = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ q \over r } </math>.
Такой потенциал, называемый кулоновским, есть по сути (а строго говоря при <math>q=1</math>) функция Грина
- <math>\Phi_1 (x,y,z) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ 1 \over r } </math>
для уравнения Пуассона, то есть решение уравнения
- <math>\Delta \varphi = - { 1 \over \varepsilon_0 }\delta(x)\delta(y)\delta(z)\ , </math>
где <math>\delta(x)</math> — обозначение дельта-функции Дирака. Произведение трёх дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а <math>r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>.
В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как
- <math>\phi (x,y,z) = \int \rho(\xi,\eta,\zeta) \Phi_1(x-\xi,y-\eta,z-\zeta) d\xi d\eta d\zeta = </math>
- <math>= \int { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ \rho(\xi,\eta,\zeta)\over\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}} d\xi d\eta d\zeta.</math>
Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.
Физический смысл последней формулы — применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов <math>\rho dV</math>.
Случай гауссовой плотности заряда
Для практически важного случая сферически симметричного гауссова распределения заряда <math>\rho(r)</math>:
- <math> \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},</math>
где <math>Q</math> — общий заряд, решение <math>\phi(r)</math> уравнения Пуассона:
- <math>{\nabla}^2 \phi = - { \rho \over \varepsilon_0 } </math>
даётся выражением:
- <math> \phi(r) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right),
</math>
где <math>\mathrm{erf}(x)</math> — функция ошибок. Это решение можно проверить напрямую вычислением <math>{\nabla}^2 \phi</math>. Для <math>r</math>, много больших, чем <math>\sigma</math>, <math>\mathrm{erf}(x)</math> приближается к единице, и потенциал <math>\phi(r)</math> приближается к потенциалу точечного заряда <math> { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } {Q \over r} </math>, как и следовало ожидать.
Уравнение Пуассона в других областях
Сфера электростатики — не единственная область применения уравнения Пуассона. В числе других областей — расчёт гравитационного потенциала <math>\varphi</math>; его градиент определяет напряжённость гравитационного поля.
Потенциал <math>\varphi</math>, создаваемый точечной массой <math>m</math>, расположенной в начале координат, равен
- <math>\varphi_m = -\frac{Gm}{r},</math>
где <math>G</math> — гравитационная постоянная, <math>r</math> — расстояние от начала координат. На бесконечности потенциал такого вида обращается в ноль. В общем случае произвольного распределения массы, описываемого координатно-зависимой плотностью <math>\rho </math> (кг/м3), уравнение Пуассона записывается:
- <math>\nabla^2\varphi = 4 \pi G \rho.</math>
С точностью до замены <math>-1/\varepsilon_0 \to 4\pi G</math> и изменения смысла величины <math>\rho</math> («плотность заряда» <math>\to</math> «плотность массы»), уравнение подобно соответствующему электростатическому уравнению. Правда, в случае гравитационных сил не бывает ситуации отталкивания, но на решении этот факт никак не сказывается.
Решение такой же вид, как и в электростатике:
- <math>\varphi(x,y,z) = -\int G{ \rho(\xi,\eta,\zeta)\over\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}} d\xi d\eta d\zeta.</math>
Рассмотрение уравнения Пуассона в остальных упоминавшихся в преамбуле областях физики может быть выполнено аналогично, только со специфическим для конкретной области смыслом входящих в него величин.
См. также
Примечания
Ссылки
- Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
