Русская Википедия:Уравнение Рамануджана — Нагеля
Уравнение Рамануджана – Нагеля в теории чисел — уравнение следующего вида:
- <math>2^n-7=x^2,</math>
Для него требуется найти натуральные решения неизвестных <math>n</math> и <math>x</math>.
Это пример экспоненциального диофантова уравнения. Уравнение названо в честь индийского математика Сринивасы Рамануджана и норвежского математика Шаблон:Iw.
История
Данное уравнение возникает при решении следующей задачи[1]: найти все числа Мерсенна <math>(</math>то есть числа вида <math>2^b-1)</math>, которые одновременно являются треугольными числами (то есть имеют вид <math>\frac{y(y+1)}{2}</math>). Несложные преобразования приводят к следующему результату:
- <math>
\begin{align} & \ 2^b-1 = \frac{y(y+1)}{2} \\[2pt] \Longleftrightarrow & \ 8(2^b-1) = 4y(y+1) \\ \Longleftrightarrow & \ 2^{b+3}-8 = 4y^2+4y \\ \Longleftrightarrow & \ 2^{b+3}-7 = 4y^2+4y+1 \\ \Longleftrightarrow & \ 2^{b+3}-7 = (2y+1)^2 \end{align} </math>
Выполнив замену <math>n=b+3;\ x=2y+1,</math> получаем уравнение Рамануджана – Нагеля.
Рамануджан в 1913 году высказал гипотезу[2], что данное уравнение имеет только пять целочисленных решений:
n 3 4 5 7 15 (Шаблон:OEIS) x 1 3 5 11 181 (Шаблон:OEIS)
По своему обыкновению, Рамануджан не привёл доказательства и не пояснил, как он пришёл к такой гипотезе. Независимо от Рамануджана, в 1943 году аналогичную гипотезу выдвинул норвежский математик Шаблон:Iw[3]. В 1948 году другой норвежский математик, Шаблон:Iw, опубликовал доказательство[4][5].
Соответствующие решениям «треугольные числа Мерсенна» часто называют числами Рамануджана – Нагеля[1]:
- <math>\frac{y(y+1)}{2} = \frac{(x-1)(x+1)}{8}</math>
Их также пять: 0, 1, 3, 15, 4095 (Шаблон:OEIS).
Вариации и обобщения
Немецкий математик Карл Людвиг Зигель рассмотрел несколько более общее уравнение вида:
- <math> x^2 + D = A B^n, </math>
где <math>D, A, B</math> — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных <math>x, n</math>. Зигель доказал:
- количество решений этого диофантова уравнения в любом случае конечноШаблон:Sfn;
- при <math>A = 1, B = 2</math> уравнение имеет не более двух решений, за исключением изложенного выше случая <math>D = 7</math>;
- существует бесконечно много значений <math>D,</math> для которых существуют два решенияШаблон:Sfn, например, <math>D = 2^m - 1</math>.
Пример: <math>D=119, A=15, B=2.</math> Уравнение <math> x^2 + 119 = 15\cdot 2^n, </math> имеет шесть решений:
n 3 4 5 6 8 15 x 1 11 19 129 61 701
Ещё одно обобщение — уравнение Лебега — Нагеля:
- <math> x^2 + D = A y^n </math>
где <math>D, A</math> — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных <math>x, y, n.</math> Уравнение названо в честь французского математика Шаблон:Iw, который в 1850 году исследовал уравнение <math> x^2 + 1 = y^n </math> и доказал, что оно имеет только тривиальные решения[6]:
- <math>0^2+1=y^0;\quad 0^2+1=1^n;\quad x^2+1=(x^2+1)^1</math>
Из результатов Шори и Тейдемана[7] следует, что число решений уравнение Лебега — Нагеля всегда конечноШаблон:Sfn. Бюжо, Миньотт и Сиксек решили уравнения этого типа[8] с <math>A=1</math> и <math>1\leqslant D \leqslant 100</math>. В частности, обобщение исходного уравнения Рамануджана-Нагеля:
- <math>y^n-7=x^2 \,</math>
имеет положительные целочисленные решения, когда x = 1, 3, 5, 11 и 181.
См. также
- Гипотеза Пиллаи: уравнение <math>Ax^n - By^m = C</math> всегда имеет только конечное число решений.
Примечания
Литература
Ссылки
- ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ Шаблон:Публикация
- ↑ Шаблон:Публикация
- ↑ Skolem, T.; Chowla, S.; and Lewis, D. J. The Diophantine Equation <math>2^{n+2}-7=x^2</math> and Related Problems. Proc. Amer. Math. Soc. 10, 663—669, 1959.
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ Шаблон:Публикация
- ↑ Шаблон:Cite journal
