Русская Википедия:Уравнение Фишера (математика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Уравнение Фишера (Шаблон:Lang-en, также известно как уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова, уравнение КПП или уравнение Фишера — КПП) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка:

<math> \frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+aw(1-w).</math>

История

Уравнение названо в честь статистика и биолога Рональда Эйлмера Фишера, предложившего его в 1937 году в контексте популяционной динамики для описания пространственного распределения выгодных аллелей и нашедшего его решение в виде бегущей волны.

Применение

Уравнение Фишера встречается в задачах тепло- и массообмена, теории горения, биологии и экологии, в физике плазмы и задачах теории фазовых переходов. Оно описывает, например, массоперенос в двухкомпонентной неподвижной смеси при наличии объемной химической реакции квазипервого порядка. Кинетическая функция <math>f(w)=aw(1-w)</math> моделирует также автокаталитическое цепное превращение в теории горения.

Решения

Для скорости волны <math>c\ge 2\sqrt a</math> уравнение допускает решения в виде бегущей волны <math> w(x,t)=w(x\pm ct)=w(z)</math>, причем <math>\lim_{z\rightarrow -\infty}=0,\lim_{z\rightarrow +\infty}=1</math>. Форма решений уникальна для каждой длины волны. Для <math>c< 2\sqrt a</math> таких решений не существует.

В случае скорости <math>c=\pm\frac{5}{\sqrt 6}</math> могут быть получены следующие точные решения:

<math> w(z)=\left[\pm 1+C\exp (\mp\frac{z}{\sqrt 6}) \right ]^{-2}, </math>

<math> w(z)=\frac{1+2C\exp (\mp\frac{z}{\sqrt 6})}{\left[1+C\exp (\mp\frac{z}{\sqrt 6}) \right ]^2}, </math>

где <math>C</math> — произвольная постоянная.