Русская Википедия:Уравнение Фридмана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Уравнение Фридмана — в космологии уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной Вселенной (Вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Александровича Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году.

Уравнение Фридмана

Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны),

<math>

ds^2 = c^2 dt^2 - a(t)^2 dl^2 \,, </math> где <math>dl^2</math> — элемент длины в пространстве постоянной кривизны, <math>a(t)</math> — масштаб («размер») вселенной.

Пространство постоянной кривизны может быть трёх видов — сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.

Сферические координаты

Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства

Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна

<math>

ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sin^{2}\chi (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,, </math> где <math>r=a\cdot\sin\chi</math> — фотометрическое расстояние, <math>\chi\in[0,\pi]</math>; <math>\theta,\,\phi</math> — сферические углы; <math>\eta</math> — масштабированное время, <math>ad\eta=dt</math>.

Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны

<math>

R^{\chi}_{\chi} = R^{\theta}_{\theta} = R^{\phi}_{\phi} = -\frac{1}{a^{4}}(2a^{2}+a'^{2}+aa)\;, </math>

<math>

R^{\eta}_{\eta} = \frac{3}{a^{4}}(a'^{2}-aa)\;, </math>

<math>

R = -\frac{6}{a^{3}}(a+a)\;, </math> где штрих означает дифференцирование по <math>\eta</math>.

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен

<math>

T_{ab}=(\epsilon + p)u_{a}u_{b} - pg_{ab}\, , </math> где <math>\epsilon</math> плотность энергии, <math>p</math>—давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна <math>u^a=\{\frac{1}{a(t)},0,0,0\}</math>.

Временная компонента уравнения Эйнштейна,

<math>

R^{\eta}_{\eta}-\frac{1}{2}R = \kappa{}T^{\eta}_{\eta} \,, </math> с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,

<math>

\frac{3}{a^{4}}(a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,. </math>

Если связь плотности энергии <math>\epsilon</math> и давления <math>p</math> (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной <math>a</math>, используя уравнение сохранения энергии

<math>

d\epsilon=-(\epsilon + p)\frac{3da}{a}\,. </math> В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,

<math>

\eta = \pm \int \frac{da}{a\sqrt{\frac{1}{3}\kappa\epsilon a^2-1}}\,. </math>

Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства

Для открытой вселенной метрика Фридмана равна

<math>

ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sinh^{2}\chi (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,, </math> где <math>r=a\cdot\sinh\chi</math>, <math>\chi\in[0,\infty]</math>; <math>\theta,\,\phi</math> — сферические углы; <math>\eta</math> — масштабированное время, <math>ad\eta=dt</math>.

Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой <math>\{a,\eta,\chi\}\to\{ia,i\eta,i\chi\}</math>.

Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть

<math>

\frac{3}{a^{4}}(-a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,. </math>

Открытая (бесконечная) и плоская вселенная

Для плоской вселенной метрика Фридмана равна

<math>

ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} - \chi^{2} (d\theta^{2} +\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,, </math> где <math>r=a\chi</math>, <math>\chi\in[0,\infty]</math>; <math>\theta,\,\phi</math> — сферические углы; <math>\eta</math> — масштабированное время, <math>ad\eta=dt</math>.

Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе <math>r \ll a \to \infty</math>.

Замечая, что <math>a'/a^2=\dot a/a</math>, где <math>\dot a \equiv da/dt</math>, уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как

<math>

3\frac{{\dot a}^2}{a^{2}} = \kappa\epsilon \,. </math>

Приведённые радиальные координаты

Шаблон:Main В этих координатах метрика пространства с постоянной кривизной равна

<math>dl^2 = \frac{dr^2}{1-k r^2} + r^2 d\Omega^2,</math>

где <math>\theta, \phi</math> — сферические угловые координаты;

<math>r</math> — приведённая радиальная координата, определяемая следующим образом: длина окружности радиуса <math>r</math> с центром в начале координат равна <math>2\pi r;</math>

<math>k</math> — константа, принимающей значение 0 для плоского пространства, +1 для пространства с постоянной положительной кривизной, −1 для пространства с постоянной отрицательной кривизной;

<math>d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2 .</math>

Решения уравнения Фридмана

Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев — вселенной, заполненной пылью, и вселенной, заполненной излучением.

Ссылки

• Шаблон:Cite book