Русская Википедия:Уравнение Швингера — Томонаги

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Квантовая механика Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движенияШаблон:Sfn, обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей <math>\Psi[\sigma]</math>. Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:Шаблон:Sfn

<math>i \hbar \frac{\delta \Psi[\sigma]}{\delta \sigma(x)} = \mathcal{H}(x) \Psi[\sigma],</math>

где <math>\mathcal{H}(x)</math> — плотность гамильтониана

<math>H(t)=\int\mathcal{H}(x)d^3\mathbf{x}.</math>

<math>x = (x^0, \mathbf{x})</math> — координата в пространстве Минковского <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>. Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:Шаблон:Sfn

<math>i \hbar \frac{\delta \rho[\sigma]}{\delta \sigma(x)} = [\mathcal{H}(x), \rho[\sigma]].</math>

Пространственноподобные гиперповерхности <math>\sigma</math> определяются трёхмерным многообразием в <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>, которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке <math>x \in \sigma</math> гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор

<math>n_{\mu}(x) n^{\mu}(x)= 1,</math>

являющийся времениподобным

<math>n^{0}(x) \geqslant 1.</math>

Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени.Шаблон:Sfn Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности <math>\sigma</math> координатами <math>\mathbf{x}</math> трёхмерного пространства <math>\mathbb{R}^3</math>, тогда точки <math>x \in \sigma</math> могут быть представлены в виде <math>x = (x^0(\mathbf{x}),\mathbf{x})</math>. Таким образом, каждая точка <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3</math> имеет собственную переменную времени <math>x^0 =x^0(\mathbf{x})</math>.

Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги

Рассмотрим точку <math>x \in \sigma</math> и варьированную гиперповерхность <math>\sigma + \delta \sigma</math>, отличную от <math>\sigma</math> лишь в некоторой окрестности <math>O_x</math> точки <math>x</math>. Через <math>\Omega(x)</math> обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между <math>\sigma</math> и <math>\sigma + \delta \sigma</math>. Тогда функциональная производная <math>\frac{\delta}{\delta \sigma(x)}</math> произвольного функционала <math>F[\sigma]</math>, приставляющем собой отображение из множестве гиперповерхностей в вещественные числа, определяется следующим образомШаблон:Sfn

<math>\frac{\delta F[\sigma]}{\delta \sigma(x)} = \underset{\Omega(x) \rightarrow 0}{\lim} \frac{F[\sigma + \delta \sigma] - F[\sigma]}{\Omega(x)}.</math>

Решение уравнения Швингера — Томонаги

Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено какШаблон:Sfn

<math>\rho(\sigma) = U(\sigma, \sigma_0) \rho(\sigma_0) U^{\dagger}(\sigma, \sigma_0),</math>

где <math>U(\sigma, \sigma_0)</math> — унитарный оператор эволюции, имеющий вид

<math>U(\sigma, \sigma_0) = \mathrm{Texp} \left[ - i \hbar \int_{\sigma_0}^{\sigma} \mathcal{H}(x)d^4x \right],</math>

где <math>\mathrm{Texp}</math> — упорядоченная по времени экспонента. <math>\rho(\sigma_0)</math> — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности <math>\sigma_0</math> . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как

<math>\Psi(\sigma) = U(\sigma, \sigma_0) \Psi(\sigma_0),</math>

где <math>\Psi(\sigma_0)</math> — начальная волновая функция.

Необходимое условие интегрируемости

Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемостиШаблон:Sfn, требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности <math>\sigma</math>:

<math>\frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(x) \delta \sigma(y)} - \frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(y) \delta \sigma(x)} = 0, \qquad \forall x, y \in \sigma.</math>

Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана <math>\mathcal{H}(x)</math>. Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов

<math>[\mathcal{H}(x), \mathcal{H}(y)] = 0, \qquad (x - y)^2 < 0.</math>

Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:

<math>\frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(x) \delta \sigma(y)} - \frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(y) \delta \sigma(x)} = [[\mathcal{H}(x), \mathcal{H}(y)], \rho[\sigma]] = 0, \qquad \forall x, y \in \sigma.</math>

Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.

Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера

Расслоение пространства <math>\mathbb{R}^{1,3}</math> определяетсяШаблон:Sfn гладким однопараметрическим семейством

<math>\mathcal{F} = \{\sigma(\tau)\}</math>

состоящим из пространноподобных гиперповерхностей <math>\sigma(\tau)</math> с тем свойством, что каждая точка <math>x \in \mathbb{R}^{1,3}</math> принадлежит одной и только одной гиперповерхности <math>\sigma(\tau)</math>:

<math>\forall x \in \mathbb{R}^{1,3} \; \exist ! \tau \in \mathbb{R}: x \in \sigma(\tau).</math>

Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке <math>x</math> как <math>\sigma_x</math>. Фиксированное расслоение <math>\mathcal{F}</math> порождает семейство векторов-состояний

<math>|\Psi(\tau) \rangle = \Psi(\sigma(\tau)).</math>

Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме

<math>|\Psi(\tau) \rangle = |\Psi(0) \rangle - i \hbar \int_{\sigma_0}^{\sigma(\tau)} \mathcal{H}(x) \Psi(\sigma_x)d^4 x.</math>

Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью <math>\sigma_0 = \sigma(0)</math> и гиперповерхностью <math>\sigma(\tau)</math> семейства, которое всецело лежит в будущем <math>\sigma_0</math>.

Пусть гиперповерхности <math>\sigma(\tau)</math> могут быть определены неявным выражением

<math>\tilde{f}(x, \tau) = 0,</math>

где <math>\tilde{f}(x, \tau)</math> — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали

<math>n_{\mu}(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{\partial \tilde{f} (x, t)}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \tilde{f} (x, t)}{\partial x_{\mu}}}} \frac{\partial \tilde{f} (x, t)}{\partial x^{\mu}}.</math>

Для удобство нормируем функцию <math>f(x, \tau) = 0</math> определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали

<math>n_{\mu}(x) = \frac{\partial f(x, t)}{\partial x^{\mu}}.</math>

Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний

<math>\frac{d}{d \tau} |\Psi(\tau) \rangle = - \frac{i}{\hbar} \int_{\sigma(\tau)} \left|\frac{\partial f}{\partial \tau} \right| \mathcal{H}(x) |\Psi(\tau) \rangle d \sigma(x),</math>

где интегрирование выполняется по гиперповерхности <math>\sigma(\tau) \in \mathcal{F}</math>. Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом

<math>\int_{\sigma(\tau)} \left|\frac{\partial f}{\partial \tau} \right| \mathcal{H}(x) d \sigma(x) = \int_{\sigma(\tau)} \left|n_0 \frac{\partial x_0}{\partial \tau} \right| \mathcal{H}(x) d \sigma(x) = H(\tau)</math>

уравнение движения для векторов-состояния примет вид

<math>i \hbar \frac{d}{d \tau} |\Psi(\tau) \rangle = H(\tau)|\Psi(\tau) \rangle.</math>

Историческая справка

Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность,Шаблон:Sfn связанная с тем, что в формализме квантовой механики время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.

Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность <math>\sigma</math>.

Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга