Русская Википедия:Уравнение Эйлера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Шаблон:Механика сплошных сред Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени.Шаблон:Sfn

Классическое уравнение Эйлера

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

<math>\int\limits_V \frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dm = \int\limits_V \mathbf{g} \,dm - \oint\limits_S p \,d\mathbf{S},</math>

где <math>\mathbf{S}</math> — поверхность выделенного объёма, <math>\mathbf{g}</math> — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что <math>dm = \rho \, dV</math>, где <math>\rho</math> — плотность жидкости в данной точке, получим:

<math>\int\limits_V \rho\,\frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dV = \int\limits_V \rho\,\mathbf{g} \,dV - \int\limits_V \nabla p \,dV. </math>

В силу произвольности объёма <math>V</math> подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

<math>\rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \rho \mathbf{g} - \nabla p.</math>

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

<math>\frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v},</math>

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести: Шаблон:Рамка <math> \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v} = \mathbf{g} - \frac{1}{\rho}\nabla p,</math> Шаблон:Конец рамки где

<math>\rho\left(x,y,z,t\right)</math> — плотность жидкости,

<math>p\left(x,y,z,t\right)</math> — давление в жидкости,

<math>\mathbf{v}\left(x,y,z,t\right)</math> — вектор скорости жидкости,

<math>\mathbf{g}\left(x,y,z,t\right)</math> — вектор напряжённости силового поля,

<math>\nabla</math> — оператор набла для трёхмерного пространства.

Частные случаи

Стационарный одномерный поток

Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид

<math>v \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\rho} \cdot \frac{dp}{dx}.</math>

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по <math>x</math> при постоянной плотности жидкости <math>\rho</math> получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

<math>\frac{\rho v^2}{2} + p = \text{const}.</math>

Несжимаемая жидкость

Пусть <math>\rho = \text{const}</math>. Используя известную формулу

<math>\frac{1}{2} \operatorname{grad} v^2 = [\mathbf{v} \operatorname{rot} \mathbf{v}] + (\mathbf{v\nabla})\mathbf{v},</math>

перепишем соотношение в форме

<math>\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \frac{1}{2} \operatorname{grad} v^2 =

[\mathbf{v} \operatorname{rot} \mathbf{v}] - \operatorname{grad}\frac{p}{\rho}.</math>

Беря ротор и учитывая, что

<math>\operatorname{rot} \operatorname{grad} \phi = 0,</math>

а частные производные коммутируют, получаем, что Шаблон:Рамка <math>\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{rot} \mathbf{v} = \operatorname{rot} [\mathbf{v} \operatorname{rot} \mathbf{v}].</math> Шаблон:Конец рамки

Адиабатическое течение

В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции <math>w</math> следующим образом:

<math>dw = V\,dp + T\,ds = V\,dp</math> в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия <math>s</math> постоянна.

Следовательно:

<math>\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v} = -\operatorname{grad}w.</math>

Используя известное соотношение

<math>\frac{1}{2} \operatorname{grad} v^2 = [\mathbf{v} \operatorname{rot} \mathbf{v}] + (\mathbf{v\nabla})\mathbf{v}</math>

и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера, получим искомое представление в виде

<math>\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{rot} \mathbf{v} = \operatorname{rot} [\mathbf{v} \operatorname{rot} \mathbf{v}].</math>

См. также

• Уравнения Лагранжа
• Уравнение Эйлера в форме Громеки — Лэмба
• Уравнения движения вязкой жидкости
• Конформные преобразования — метод нахождения формы невязких течений, решений уравнения Эйлера.
• Уравнение вихря
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Литература

• Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Гидродинамика
• Falkovich G. Fluid Mechanics (A short course for physicists) Cambridge University Press 2011
• Шаблон:Книга

Ссылки

Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости