Русская Википедия:Уравнение Эйлера — Лагранжа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера, или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации и совместно с принципом стационарности действия используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в ноль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Формулировка

Пусть задан функционал

<math> J(f) = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx </math>

на пространстве гладких функций <math>f\colon[a,b]\to \R</math>, где через <math>f'</math> обозначена первая производная <math>f</math> по <math>x</math>.

Предположим, что подынтегральная функция <math>F (x, f (x), f' (x))</math>, дважды непрерывно дифференцируема. Функция <math>F</math> называется функцией Лагранжа, или лагранжианом.

Если функционал <math>J</math> достигает экстремума на некоторой функции <math>f</math>, то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

<math> \frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0, </math>

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа в предположении, что кратчайший путь существует и является гладкой кривой.

Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты <math>(a, c)</math> и <math>(b, d)</math>. Тогда длина пути <math>y(x)</math>, соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

<math> L = \int\limits_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} dx. </math>

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

<math> \frac d {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0, </math>

откуда получаем, что

<math> \frac {dy} {dx} = C \Rightarrow y = Cx + D. </math>

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что <math>y(a) = c</math>, <math>y(b) = d</math>, т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок прямой, соединяющий точки.

Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

• Если <math>q(t)</math> — путь в <math>n</math>-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

<math> J = \int\limits_{t1}^{t2} L(t, q(t), q'(t))\, dt </math>

только если удовлетворяет условию

<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q'_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 </math> <math> \forall k = 1, 2, \dots n </math>

В физических приложениях, когда <math>L</math> является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

• Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции <math>n</math> переменных. Если <math>\Omega</math> — какая-либо (в данном случае n-мерная) поверхность, то

<math> J = \int\limits_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, d\Omega ,</math>

где <math>x_i = x_1, x_2, x_3,\dots, x_n</math> — независимые координаты, <math>f = f(x_1, x_2, x_3,\dots, x_n)</math>, <math>f_{x_i} \equiv \frac{\partial f}{\partial x_i}</math>,

доставляет экстремум, если только <math>f</math> удовлетворяет уравнению в частных производных

<math> \frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0. </math>

Если <math>n = 2</math> и <math>L</math> — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

• Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной плёнки, приведённого в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой плёнки (если, конечно, нам удалось изначально записать для неё действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).

История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин предложил Эйлер в 1766 году).

Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию <math>f</math>, которая удовлетворяет граничным условиям <math>f(a)=c</math>, <math>f(b)=d</math> и доставляет экстремум функционалу

<math> J = \int\limits_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. </math>

Предположим, что <math>F</math> имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если <math>f</math> даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение <math>f</math>, которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение <math>J</math> (если <math>f</math> минимизирует его) или уменьшать <math>J</math> (если <math>f</math> максимизирует).

Пусть <math>\eta(x)</math> — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию <math>\eta(a)=\eta(b)=0</math>. Определим

<math> J(\varepsilon) = \int\limits_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx. </math>

где <math>\varepsilon</math> — произвольный параметр.

Поскольку <math>f</math> даёт экстремум для <math>J(0)</math>, то <math>J'(0)=0</math>, то есть

<math> J'(0) = \int\limits_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0. </math>

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

<math> 0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b. </math>

Используя граничные условия на <math>\eta</math>, получим

<math> 0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. </math>

Отсюда, так как <math>\eta(x)</math> — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

<math> \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0. </math>

Если не вводить граничные условия на <math>f(x)</math>, то также требуются условия трансверсальности:

<math>\frac{\partial F}{\partial f'}(a,f(a),f'(a))=0 </math>

<math>\frac{\partial F}{\partial f'}(b,f(b),f'(b))=0 </math>

Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от производных <math>f</math> порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

<math> J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x), f(x),...,f^{(n)}(x))\, dx. </math>

Если наложить граничные условия на <math>f</math> и на её производные до порядка <math>n-1</math> включительно, а также предположить, что <math>F</math> имеет непрерывные частные производные порядка <math>2n</math> , то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера — Лагранжа и для этого случая:

<math> \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}+\frac{d^2}{dx^2} \frac{\partial F}{\partial f}-\cdots+(-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial F}{\partial f^{(n)}} = 0 . </math>

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера — Пуассона.

Два лагранжиана, отличающеся на полную производную, дадут одни и те же дифференциальные уравнения, однако максимальный порядок производных в этих лагранжианах может быть различный. Например, <math>L_1=(f^\prime(x))^2~,~L_2=-f(x)f^{\prime\prime}(x)~,~L_1-L_2=\frac{d}{dx}(f(x)f^\prime(x))</math>. Чтобы получить дифференциальное уравнение на экстремум, к <math>L_1</math> достаточно применить «обычное» уравнение Эйлера — Лагранжа, а для <math>L_2</math>, поскольку он зависит от второй производной, нужно использовать уравнение Эйлера — Пуассона с соответствующим слагаемым:

<math> \frac {\partial L_1} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial L_1} {\partial f'} = -2 f^{\prime\prime}(x), </math>

<math> \frac {\partial L_2} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial L_2} {\partial f'} + \frac {d^2} {dx^2} \frac {\partial L_2} {\partial f^{\prime\prime}}= -2 f^{\prime\prime}(x), </math>

и в обоих случаях получится одно и то же дифференциальное уравнение <math>-2 f^{\prime\prime}(x)=0 </math>.

Литература

• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:PlanetMath
• Summary with some historical information
• Examples — задачи из вариационного исчисления.