Русская Википедия:Уравнение Янга — Бакстера
Уравнение Янга — Бакстера (уравнение факторизации, уравнение треугольников) — уравнение, относящееся к классу точно решаемых задач. Имеет вид локальных преобразований эквивалентности, которые появляются в самых разнообразных случаях, таких как электрические цепи, теория узлов и теория кос, спиновые системы. Получило своё имя от независимых работ Ч. Н. Янга 1968 г. и Р. Д. Бакстера 1971 г. по статистической механике.
Зависимое от параметров уравнение Янга — Бакстера
Обозначим через <math>A</math> ассоциативную алгебру с единицей. Зависимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для <math>R(u)</math>, зависимого от параметра обратимого элемента тензорного произведения алгебр <math>A \otimes A</math> (здесь <math>u</math> — параметр, который обычно изменяется по всем вещественным числам в случае аддитивного параметра, или по всем положительным вещественным числам в случае мультипликативного параметра). В случае аддитивного параметра, уравнение Янга — Бакстера является функциональным уравнением
- <math> R _ {12} (u) \ R _ {13} (u+v) \ R _ {23} (v) = R _ {23} (v) \ R _ {13} (u+v) \ R _ {12} (u), </math>
на функцию <math>R</math>, в которую указанным образом подставлены две переменные <math> u </math> и <math> v </math>. При некоторых <math>u</math> <math> R (u) </math> может превратиться в одномерный проектор, это приводит к квантовому детерминанту. Для мультипликативного параметра уравнение Янга — Бакстера имеет вид
- <math> R _ {12} (u) \ R _ {13} (uv) \ R _ {23} (v) = R _ {23} (v) \ R _ {13} (uv) \ R _ {12} (u), </math>
на функцию <math>R</math>, где <math> R _ {12} (w) = \phi _ {12} (R (w)) </math>, <math> R _ {13} (w) = \phi _ {13} (R (w)) </math>, и <math> R _ {23} (w) = \phi _ {23} (R (w)) </math>, для всех величин параметра <math> w </math>, и <math> \phi _ {12}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A </math>, <math> \phi _ {13}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A </math>, и <math> \phi _ {23}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A </math>, являются морфизмами алгебры, определёнными как
- <math> \phi _ {12} (a \otimes b) = a \otimes b \otimes 1, </math>
- <math> \phi _ {13} (a \otimes b) = a \otimes 1 \otimes b, </math>
- <math> \phi _ {23} (a \otimes b) = 1 \otimes a \otimes b. </math>
В некоторых случаях детерминантШаблон:Непонятно <math> R (u) </math> может обнулиться при определённых величинах спектрального параметра <math> u = u_0 </math>, и иногда <math> R (u) </math> даже превращается в одномерный проектор. В этом случае может быть определён квантовый детерминант.
Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера
Обозначим через <math>A</math> ассоциативную алгебру с единицей. Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для <math> R </math>, обратимого элемента тензорного произведения алгебр <math>A \otimes A</math>. Уравнение Янга — Бакстера имеет вид
- <math> R _ {12} \ R _ {13} \ R _ {23} = R _ {23} \ R _ {13} \ R _ {12}, </math>
где <math> R _ {12} = \phi _ {12} (R) </math>, <math> R _ {13} = \phi _ {13} (R) </math>, и <math> R _ {23} = \phi _ {23} (R) </math>.
Пусть <math> V </math> — модуль над <math>A</math>. Пусть <math> T : V \otimes V \to V \otimes V </math> линейная карта, удовлетворяющая <math> T (x \otimes y) = y \otimes x </math> для всей <math> x, y \in V </math>. Тогда представление группы кос, <math> B_n </math>, может быть построено на <math> V^{\otimes n} </math> <math> \sigma_i = 1^{\otimes i-1} \otimes \check {R} \otimes 1^{\otimes n-i-1} </math> для <math> i = 1, \dots, n-1 </math>, где <math> \check {R} = T \circ R </math> на <math> V \otimes V </math>. Это представление может использоваться, чтобы определить квазиинварианты кос, узлов.
Литература
- H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
- Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
- Jacques H.H. Perk and Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), Шаблон:Arxiv.
- Шаблон:Книга
