Русская Википедия:Уравнение в функциональных производных

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнение в функциональных производных — обобщение понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных. Применяется в функциональном анализе и теоретической физике (уравнение Швингера — Томонаги, уравнения Швингера).

Обыкновенное уравнение в функциональных производных получается с помощью предельного перехода к бесконечному множеству переменных из уравнения в полных дифференциалахШаблон:Sfn:

<math>du = p_{1}dx_{1} + p_{2}dx_{2} + ... + p_{n}dx_{n}</math> (1),

где: <math>u</math> и коэффициенты <math>p_{j}</math> являются функциями от <math>n</math> переменных <math>x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}</math>.

При переходе к пределу <math>n \to \infty</math> в уравнении (1) сумма превратится в интеграл и оно примет вид:

<math>\delta U = \int_{0}^{1} f [x(t); U, \tau]\delta x (\tau) d \tau</math> (2),

где: <math>U</math> - неизвестный функционал от функции <math>x(t)</math>, <math>\tau</math> - переменная интегрирования.

При помощи понятия функциональной производной это уравнение можно записать в виде:

<math>U_{x(\tau)}^{'} = f [x(t); U, \tau]</math> (3),

где: <math>U_{x(\tau)}^{'}</math> - функциональная производная.

Если семейство функций <math>x(t)</math> принадлежит пространству <math>L_{2}</math> и зависит от числового параметра, то уравнение в функциональных производных превращается в дифференциальное уравнение первого порядка, которое удобно решать методом последовательных приближенийШаблон:Sfn.

Если функционал <math>U</math> зависит не только от функции <math>x(t)</math>, но и от одного или нескольких числовых параметров, то уравнение в функциональных производных превращается в интегро-дифференциальное уравнение, для решения которого также можно использовать метод последовательных приближенийШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга