Русская Википедия:Уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнения движения в неинерциальной системе отсчёта — уравнения движения материальной точки (1) в поле консервативных сил в классической механике, записанные в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения <math>\mathbf{V}</math> и угловой скоростью вращательного движения <math>\mathbf{\Omega}</math>.

В ИСО уравнение движения Лагранжа имеет видШаблон:Sfn:

<math> m \frac {d \mathbf{v}_0} {dt} = - \frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}}, </math>

в НСО уравнение приобретает четыре дополнительных члена (так называемые «эйлеровы силы инерции»)Шаблон:Sfn:

<math> m \frac {d \mathbf{v}} {dt} = - \frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}} - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} + m [\mathbf{r} \frac {d \mathbf{\Omega}} {dt}] + 2 m [\mathbf{v} \mathbf{\Omega}] + m [\mathbf{\Omega}[\mathbf{r} \mathbf{\Omega}]], </math> (1)

где:

• жирным шрифтом обозначены векторные величины, квадратными скобками — векторное умножение;
• индекс <math>_0</math> относится к величинам в ИСО;
• <math>t</math> — время;
• <math>m</math> — масса точки;
• <math>\mathbf{v}</math> — вектор скорости точки;
• <math>\mathbf{r}</math> — радиус-вектор точки;
• <math>U</math> — потенциальная энергия.

Вывод формулы

Всякое движение может быть разложено в композицию поступательного и вращательного движенийШаблон:Sfn. Потому переход от ИСО К₀ к НСО К может рассматриваться в виде двух последовательных шагов: вначале переход от К₀ к промежуточной системе отсчёта К' , которая движется поступательно по отношению к К₀ со скоростью <math>\mathbf{V}</math>, а затем уже к К, которая вращается относительно К' с угловой скоростью <math>\mathbf{\Omega}</math>.

Принцип наименьшего действия не зависит от системы координат, вместе с ним уравнения Лагранжа также применимы в любой системе координат.

Лагранжиан в К',

<math> L' = \frac {m \mathbf{v}'^2} {2} + m \mathbf{v}' \mathbf{V} + \frac {m \mathbf{V}^2} {2} - U, </math> (2)

получается путём подстановки поступательного преобразования скорости частицы <math>\mathbf{v}_0 = \mathbf{v}' + \mathbf{V}</math> в лагранжиан, записанный в ИСОШаблон:Sfn:

<math> L_0 = \frac {m \mathbf{v}_0^2} {2} - U. </math>

Выражения и для ИСО, и для НСО описывают эволюцию частицы в соответствующих системах отсчёта — закон сохранения энергии.

Как известно, члены, представляющие собой полные производные по времени некоторых функций, могут быть исключены из лагранжиана, так как они не влияют на уравнения движения (см. Лагранжева механика). В формуле (2) <math>\mathbf{V}^2</math> является функцией времени, и, тем самым, полной производной другой функции времени, соответствующий член может быть опущен. Поскольку <math> \mathbf{v}' = \frac {d \mathbf{r}'} {dt}</math>,

<math> m \mathbf{v}' \mathbf{V} = m \mathbf{V} \frac {d \mathbf{r}'} {dt} = \frac d {dt} (m \mathbf{V} \mathbf{r}') - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} \mathbf{r}',</math>

где полная производная <math> m \mathbf{V} \mathbf{r}'</math> по времени опять-таки может быть опущена. В итоге лагранжиан (2) преобразуется в

<math> L' = \frac {m \mathbf{v}'^2} {2} - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} \mathbf{r}' - U. </math> (3)

При переходе от К' к К (чистое вращение) скорость изменяется на <math>[\mathbf{\Omega} \mathbf{r}]</math>. При подстановке <math>\mathbf{v}' = \mathbf{v} + [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}]</math> в уравнение (3) образуется лагранжиан в К (учитывая, что <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}'</math>):

<math> L = \frac {m \mathbf{v}^2} {2} + m \mathbf{v} [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] + \frac m {2} [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}]^2 - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} \mathbf{r} - U. </math>

Полный дифференциал этого лагранжиана выглядит как:

<math> dL = m \mathbf{v} d \mathbf{v} + m d \mathbf{v} [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] + m \mathbf{v} [\mathbf{\Omega} d \mathbf{r}] + m [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] [\mathbf{\Omega} d \mathbf{r}] - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} d \mathbf{r} - \frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}} d \mathbf{r}</math>.

Применив формулу Лагранжа и изменив порядок операций в смешанном произведении векторов, дифференциал лагранжиана можно переписать в виде:

<math> dL = m \mathbf{v} d \mathbf{v} + m d \mathbf{v} [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] + m d \mathbf{r} [\mathbf{v}

\mathbf{\Omega} ] + m [[\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] \mathbf{\Omega}] d \mathbf{r} - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} d \mathbf{r} - \frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}} d \mathbf{r}.</math>

Частные производные лагранжиана по <math>\mathbf{v}</math> и <math>\mathbf{r}</math> соответственно будут:

<math> \frac {\partial L} {\partial \mathbf{v}} = m \mathbf{v} + m [\mathbf{\Omega} \mathbf{r}], </math>

<math> \frac {\partial L} {\partial \mathbf{r}} = m [\mathbf{v} \mathbf{\Omega} ] + m [[\mathbf{\Omega} \mathbf{r}] \mathbf{\Omega}] - m \frac {d \mathbf{V}} {dt} - \frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}}.</math>

После подстановки частных производных в стандартное уравнение движения в форме Эйлера-Лагранжа

<math> \frac d {d t} \frac {\partial L} {\partial \mathbf{v}} = \frac {\partial L} {\partial \mathbf{r}}, </math>

получается формула (1).

Физический смысл

Векторное уравнение (1) описывает движение материальной точки в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения и угловой скоростью вращательного движения. При этом, приложенная к телу внешняя сила, обеспечивающая поступательное движение, заменена потенциальным полем, в котором действуют консервативные силы.

При этом, движение НСО относительно ИСО называют переносным, вследствие чего, скорости, ускорения и силы, связанные с НСО, также называются переносными.

Выражение <math>m \frac {d \mathbf{v}} {dt}</math> — результирующий вектор суммы сил, находящихся в правой части уравнения (1).

Частная производная потенциальной энергии <math>U</math> частицы во внешнем поле по радиусу—вектору <math>\mathbf{r}</math> «точки приложения» сил определяет сумму всех сил, действующих со стороны внешних источников,

<math>-\frac {\partial U} {\partial \mathbf{r}}</math>.

Выражение переносной силы, действующей в однородном силовом поле, которое, в свою очередь, вызвано ускоренным поступательным движением системы, имеет вид

<math>m \frac {d \mathbf{V}} {dt}</math>,

где <math>\frac {d \mathbf{V}} {dt}</math> — ускорение поступательного движения системы отсчёта <math>K'</math>.

«Силы инерции» в уравнении (1), обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей.

Первая часть представляет из себя переносную силу, связанную с неравномерностью вращения системы отсчёта:

<math>m [\mathbf{r} \frac {d \mathbf{\Omega}} {dt}]</math>.

Вторая часть

<math>2 m [\mathbf{v} \mathbf{\Omega}]</math>

является выражением силы Кориолиса. В отличие от практически всех рассматриваемых в классической механике не диссипативных сил, её величина зависит от скорости частицы.

Третья часть представлена переносной центробежной силой

<math>m [\mathbf{\Omega}[\mathbf{r} \mathbf{\Omega}]]</math>.

Она лежит в плоскости, проходящей через <math>\mathbf{r}</math> и <math>\mathbf{\Omega}</math>, и направлена перпендикулярно к оси вращения НСО (то есть направлению <math>\mathbf{\Omega}</math>), в сторону от оси. По величине центробежная сила равна <math>m\rho\Omega^2</math>, где <math>\rho</math> — расстояние от частицы до оси вращения.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга