Русская Википедия:Уравнение движения сплошной среды
Уравнение движения сплошной среды — векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды:
- <math>\rho\frac{d\vec{v}}{dt} = \nabla\cdot T+\rho \vec{f}</math>, где
- <math>\rho</math> — плотность в точке,
- <math>\vec{v}</math> — скорость в точке,
- <math>\frac{d}{dt}</math> — материальная (субстанциональная, полная) производная,
- <math>T</math> — тензор напряжений Коши,
- <math>\vec{f}</math> — вектор внешних массовых сил.
Историческая справка
Уравнение движения в общем виде было получено Коши в начале 1820-х гг. (анонс относится к 30 сентября 1822 г.[1], краткая публикация в 1823 г.[2], полная публикация — в 1828 г.[3]).
Вид уравнения в декартовой системе координат
В прямоугольной декартовой системе координат три проекции уравнения движения сплошной среды имеют вид[4]
<math>\rho\left(\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+ v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+ v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}\right)=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{xz}}{\partial z}+\rho F_x,</math>
<math>\rho\left(\frac{\partial v_y}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+ v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+ v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}\right)=\frac{\partial p_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{yz}}{\partial z}+\rho F_y,</math>
<math>\rho\left(\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+ v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+ v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\right)=\frac{\partial p_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{zz}}{\partial z}+\rho F_z,</math>
где <math>\rho(x,y,z,t)</math> — плотность сплошной среды, <math>v_x(x,y,z,t)</math>, <math>v_y(x,y,z,t)</math>, <math>v_z(x,y,z,t)</math> — проекции скорости среды, <math>p_{ij}</math> — компоненты тензора напряжений, <math>F_x(x,y,z,t)</math>, <math>F_y(x,y,z,t)</math>, <math>F_z(x,y,z,t)</math> — компоненты вектора массовой плотности объёмных сил, действующих на сплошную среду (сила в расчёте на единицу массы). Если используемая система отсчёта не является инерциальной, то в число массовых сил нужно включать силы инерции.
Выражения, стоящие в скобках в левых частях, являются проекциями ускорения, поэтому в некотором смысле уравнение движения можно рассматривать как обобщение второго закона Ньютона для материальной точки постоянной массы.
В произвольной криволинейной системе координат уравнение движения имеет вид
<math>\rho \left(\frac{\partial v^i}{\partial t} + v^k\nabla_k v^i\right)=\nabla_k p^{ik}+\rho F^i, \quad i=1,2,3,</math>
где символ <math>\nabla_i</math> обозначает ковариантную производную по <math>i</math>-ой координате, а по повторяющемуся индексу <math>k</math> производится суммирование от одного до трёх.
Специальные формы уравнения
Если сплошная среда покоится (относительно используемой системы координат), <math>\vec v \equiv 0</math>, то уравнения движения превращаются в уравнения равновесия
<math>0=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{xz}}{\partial z}+\rho F_x,</math>
<math>0=\frac{\partial p_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{yz}}{\partial z}+\rho F_y,</math>
<math>0=\frac{\partial p_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{zz}}{\partial z}+\rho F_z.</math>
Частными случаями уравнения движения являются
- уравнение Эйлера (уравнение движения для идеальной жидкости);
- уравнение Навье — Стокса (уравнение движения для линейно-вязкой жидкости);
- уравнение Навье — Ламе (уравнение движения для малых деформаций линейно-упругой среды).
Примечания
