Русская Википедия:Уравнение последовательности с конечной производной
Шаблон:Нет источников Уравнение последовательности с конечной производной — уравнение в математике, позволяющее записать любую последовательность, производная которой конечна. Производная последовательности и производная функции, задающей последовательность — разные понятия. Такой последовательностью будет считаться любая последовательность, записанная в виде многочлена. Уравнение последовательности записывается в виде функции с натуральным аргументом, значение которого — порядковый номер элемента последовательности. Уравнение имеет вид функции:
<math>f(x) = (x-1)!\sum_{k=1}^m \frac{\alpha_k}{(x-k)!(k-1)!} </math>,
где <math>m</math> — минимальная длина производной последовательности, <math>a_k</math> — k-й элемент производной последовательности (<math>k\in\mathbb{N}</math>).
Производная последовательности
Понятие производной последовательности
Пусть существует последовательность чисел, заданная уравнением <math>3x^2 - 2</math> при <math>x\in\mathbb{N}</math>:
<math>1,\ 10,\ 25,\ 46,\ 73,\ 106\ ...</math> и т.д.
Запишем под ней строку разности, т. е. ряд, каждый элемент которой равен минус разности двух элементов сверху:
<math>\begin{array}{lcl} 1 \qquad 10 \qquad 25 \qquad 46 \qquad 73 \qquad 106 \\ \ \ \ \ \ \ 9\qquad 15 \qquad 21 \qquad 27 \qquad 33 \qquad \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6\qquad \ \ 6 \qquad \ \ 6 \qquad \ \ 6 \qquad \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\qquad \ \ 0 \qquad \ \ 0 \qquad \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\qquad \ \ 0 \qquad \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array}</math>
Так выглядит схема последовательности. Строки разности подсчитываются следующим образом: берётся первая пара чисел из верхнего ряда и вычитается второе число из первого (<math>10 - 1 = 9</math>). Число <math>9</math> записывается снизу под промежутком между двумя выбранными числами. Такая операция проводится и над числами <math>25</math> и <math>10</math> и так до конца ряда. Затем такая операция проводится и для получившегося ряда и так до конца. Ряд чисел, образованный первыми числами в каждом ряду с первого (в данном случае — <math>(1,\ 9,\ 6,\ 0,\ 0,\ 0\ ...)</math>) называется производной последовательности, так как она описывает скорость роста чисел в ней. Записывается производная последовательности через запятую в скобках. Элемент производной последовательности записывается <math>a_k</math>, где <math>k</math> — порядковый номер элемента производной последовательности (<math>k\in\mathbb{N}</math>). Производная считается конечной, если нашлась такая строка разности, которая заполнена нулями.
Минимальная длина производной последовательности
Если существует некоторая производная, то из неё можно восстановить последовательность обратными действиями. В случае с производной <math>(1,\ 9,\ 6,\ 0,\ 0,\ 0\ ...)</math>, последующие элементы которой заполнены нулями, из неё можно восстановить последовательность, заданной функцией <math>3x^2 - 2</math>. Однако последовательность можно уменьшить до <math>(1,\ 9,\ 6)</math>, притом она не перестанет описывать функцию <math>3x^2 - 2</math>. Если же уменьшить её ещё сильнее, например, <math>(1,\ 9)</math>, то такая производная будет описывать последовательность, заданной другой функцией — <math>9x+1</math>, а значит минимальная длина производной последовательности в данном случае — 3. Для получения производной последовательности минимальной длины необходимо убрать все нули в конце производной, так как они не влияют на последовательность. Длина получившейся производной и будет считаться минимальной.
Связь производной и элементов последовательности
Связывается уравнение последовательности с его производной количеством сочетаний из <math>x-1</math> по <math>k</math>, где <math>x</math> – номер элемента последовательности (<math>x\in\mathbb{N}</math>):
<math>f(x) = \binom{x-1}{0} \alpha_1 + \binom{x-1}{1} \alpha_2 + \binom{x-1}{2} \alpha_3 + ... + \binom{x-1}{n-2} \alpha_{n-1} + \alpha_n</math>.
Это выражение можно записать и в общей форме:
<math>f(x) = \sum_{k=1}^x \binom{x-1}{k-1} \alpha_k</math>.
С учётом того, что
<math>\binom{n}{k} = C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,
запишем общее уравнение:
<math>f(x) = \sum_{k=1}^x \frac{(x-1)!}{(x-k)!(k-1)!} \alpha_k</math>.
В данном случае формула суммы проходится по всей длине производной. Если она будет больше минимальной длины <math>m</math>, то в случаях, когда <math>k > m</math> дробь обнуляется, т. к. производная <math>\alpha_k</math> в таких случаях равна нулю. В таком случае имеет смысл ограничить количество итераций суммы до <math>m</math>. Также в формуле можно вынести за знак суммы <math>(x-1)! = const</math>:
<math>f(x) = (x-1)!\sum_{k=1}^m \frac{\alpha_k}{(x-k)!(k-1)!} </math>.
Общие производные последовательности, заданных многочленами
Общая формула
Для последовательности, заданной многочленом <math>f(x)</math> при <math>x\in\mathbb{N}</math>, существует производная, <math>k</math>-й элемент которой обозначается <math>\alpha_k</math>. Для <math>\alpha_k</math> верна следующая формула:
<math>\alpha_k = \sum_{i=1}^k (-1)^{k+i} \times \frac{(k-1)!}{(k-i-1)!i!} \times f(i)</math>.
Из этой формулы выводятся производные многочленов разных степеней.
Многочлены первой степени
Для последовательности, заданной многочленом первой степени (<math>ax + b</math>) производная последовательности имеет следующий вид:
<math>(f(1),\quad f(2) - f(1))</math>.
Поставляя значения в <math>f(x) = ax + b</math>, получим:
<math>(a+b, \quad a)</math>.
Многочлены второй степени
Для последовательности, заданной многочленом второй степени <math>(a x^2 + bx + c)</math> производная последовательности имеет следующий вид:
<math>(f(1), \quad f(2) - f(1),\quad f(1) - 2f(2) + f(3))</math>.
Поставляя значения в <math>f(x) = a x^2 + bx + c</math>, получим:
<math>(a+b+c, \quad 3a+b, \quad 2a)</math>.
Многочлены третьей степени
Для последовательности, заданной многочленом третьей степени <math>(a x^3 + b x^2 + cx + d) </math> производная последовательности имеет следующий вид:
<math>(f(1), \quad f(2) - f(1),\quad f(1) - 2f(2) + f(3),\quad f(4) - 3f(3) + 3f(2) - f(1))</math>.
Поставляя значения в <math>f(x) = a x^3 + b x^2 + cx + d </math>, получим:
<math>(a+b+c+d, \quad 7a+3b+c, \quad 12a+2b,\quad 6a)</math>.
Получение уравнения последовательности из производной
Для существующей производной <math>(1,\ 9,\ 6)</math> в соответствии с уравнением запишем сумму дробей:
<math>f(x) = 1 \times \frac{(x-1)!}{(x-1)!0!} + 9 \times \frac{(x-2)!}{(x-1)!1!} + 6 \times \frac{(x-3)!}{(x-2)!2!}</math>.
Раскроем факториалы, а затем скобки:
<math>f(x) = 1 + 9(x-1) + 3(x-1)(x-2) = 1 + 3(x-1)(x+1) = 3(x^2 - 1) + 1 = 3 x^2 - 2</math>.
Свойства уравнения последовательности
- Степень многочлена, которым записывается уравнение последовательности, зависит от значения <math>m</math>, т. к. с ним растёт и число слагаемых, а значит и общее число множителей в слагаемых. Степень многочлена определима по формуле <math>n=m-1</math>, где <math>n</math> — степень многочлена. При <math>m=1</math> уравнение принимает постоянное значение, равное первому и единственному элементу производной. Таким образом, можно представить любой многочлен в виде значения уравнения, а значит у каждого многочлена есть производная.
- Первым элементом любой производной любого многочлена является сумма всех его коэффициентов, включая свободный член.
- Значение <math>(n+1)</math>-го элемента производной последовательности, заданной многочленом <math>n</math>-й степени, вычисляется минус разностью её <math>n</math>-го элемента и <math>n</math>-го элемента производной новой последовательности, образованной сдвигом старой на один элемент влево.
Сумма первых натуральных членов некоторой последовательности
Для последовательности, заданной многочленом <math>f(x)</math>, где <math>x</math> — порядковый номер элемента последовательности (<math>x\in\mathbb{N}</math>), можно найти формулу, значение которой равно сумме первых <math>n</math> членов этой последовательности. Пусть <math>P(x) = \textstyle \sum_{k=1}^x \displaystyle f(k)</math>, тогда разложим сумму на каждый одночлен многочлена <math>f(x)</math>. Пусть <math>f(x) = a x^n + b x^{n-1} + c x^{n-2} + ...</math>, тогда получим:
<math>P(x) = a \sum_{k=1}^x k^n + b \sum_{k=1}^x k^{n-1} + c \sum_{k=1}^x k^{n-2} + ...</math>
Последовательность, заданная этой функцией называется последовательностью суммы. Таким образом, вся задача сводится к поиску элементарных сумм вида <math>\textstyle \sum_{k=1}^x k^n</math> для <math>n \in [1, m-1]</math>, где <math>m</math> — минимальная длина производной последовательности.
Получение производной последовательности суммы
Последовательность, заданная функцией <math>P(x)</math>, имеет производную, связанную с производной последовательности, заданной функцией <math>f(x)</math>. Для того чтобы её получить, необходимо просуммировать элементы производной со сдвигом:
1 9 6 + 1 9 6 ———————————— 1 10 15 6
Производная, полученная таким образом называется симметричной, а явление — симметричностью производной. Так, для получения формулы суммы первых <math>n</math> членов последовательности, заданной функцией <math>3x^2 - 2</math>, необходимо восстановить новую формулу из производной <math>(1,10,15, 6)</math>, в результате чего получится <math>\frac{1}{2}(2 x^3 + 3 x^2 - 3x)</math>. Формула подтверждается теоремой о лямбда-функции, утверждающей, что у формулы суммы отсутствует свободный член (<math>f(0) = 0</math>).
Основные виды сумм
Сумма первых элементов ряда натуральных чисел
Т. к. ряд натуральных чисел имеет производную <math>(1, 1)</math>, производная последовательности суммы этого ряда равна <math>(1, 2, 1)</math>. Можно вывести формулу суммы первых <math>x</math> натуральных чисел:
<math>P(x) = 1 \times \frac{(x-1)!}{(x-1)!0!} + 2 \times \frac{(x-1)!}{(x-2)!1!} + 1 \times \frac{(x-1)!}{(x-3)!2!} </math>.
В результате преобразований функция примет вид:
<math>P(x) = 1 + 2(x-1) + \frac{1}{2} (x-1)(x-2) = \frac{x^2 + x}{2} = \frac{x(x+1)}{2} </math>.
Сумма первых элементов ряда натуральных квадратов
Т. к. ряд натуральных квадратов имеет производную <math>(1, 3, 2)</math>, производная последовательности суммы этого ряда равна <math>(1, 4, 5, 2)</math>. Можно вывести формулу суммы первых <math>x</math> натуральных квадратов:
<math>P(x) = 1 \times \frac{(x-1)!}{(x-1)!0!} + 4 \times \frac{(x-1)!}{(x-2)!1!} + 5 \times \frac{(x-1)!}{(x-3)!2!} + 2 \times \frac{(x-1)!}{(x-4)!3!} </math>.
В результате преобразований функция примет вид:
<math>P(x) = 1 + 4(x-1) + \frac{5}{2} (x-1)(x-2) + \frac{2}{6}(x-1)(x-2)(x-3) = \frac{2 x^3+3 x^2 + x}{6}=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6} </math>.
Значение
Кроме возможности находить функцию, которой был задан ряд чисел, уравнение последовательности с конечной производной позволит предугадывать следующее число в последовательности. На основе схемы последовательности можно построить искусственный интеллект.
Алгоритм заключается в том, что для нахождения следующего числа необходимо сложить последние элементы во всех строках разности и последний элемент самой последовательности. Получившееся число будет соответствовать уравнению в том случае, если верно определена минимальная длина производной. Лучше всего алгоритм использовать для бесконечных производных с произвольным изменением чисел.
См. также
