Русская Википедия:Уравнение пятой степени

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнением пятой степени называют уравнение вида: <math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0</math>

Теорема Виета для уравнения пятой степени

Корни уравнения пятой степени <math>x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4,\,x_5</math> связаны с коэффициентами <math>a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f</math> следующим образом:

<math>x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = -\frac{b}{a},</math>

<math>x_1\,x_2 + x_1\,x_3 + x_1\,x_4 + x_1\,x_5 + x_2\,x_3 + x_2\,x_4 + x_2\,x_5 + x_3\,x_4 + x_3\,x_5 + x_4\,x_5 = \frac{c}{a},</math>

<math>x_1\,x_2\,x_3+x_1\,x_2\,x_4+x_1\,x_2\,x_5 + x_1\,x_3\,x_4 + x_1\,x_3\,x_5 + x_1\,x_4\,x_5 + x_2\,x_3\,x_4+ x_2\,x_3\,x_5+ x_2\,x_4\,x_5+ x_3\,x_4\,x_5 = -\frac{d}{a},</math>

<math>x_1\,x_2\,x_3\,x_4 + x_1\,x_2\,x_3\,x_5 + x_1\,x_2\,x_4\,x_5 + x_1\,x_3\,x_4\,x_5 + x_2\,x_3\,x_4\,x_5 = \frac{e}{a},</math>

<math>x_1\,x_2\,x_3\,x_4\,x_5 = -\frac{f}{a}.</math>

Решение

Точной формулы решения уравнения пятой степени не существует. Если <math>a=1, f=0</math>, то уравнение имеет вид:

<math>x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex=0</math>, где <math>x</math> выносим за скобки (см. Сводное уравнение)

<math>x(x^4+bx^3+cx^2+dx+e)=0

</math>, где один из корней равен нулю.

В скобках уравнение четвертой степени.

Если <math>b=d=0</math>, уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле

<math display="inline">\pm\sqrt{-c\pm\frac{\sqrt{c^2-4e}}{2}}</math>.

Если <math>b=e=0</math>, уравнение в скобках имеет вид

<math>x^4+cx^2+dx=0</math>, где выносим за скобки:

<math>x(x^3+cx+d)=0</math>, где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.

Пример

Решите уравнение

<math>x^5+5x=0</math>.

Решение. Выносим <math>x</math> за скобки:

<math>x(x^4+5)=0</math>.

Раскладываем <math>x^4+5</math> на множители:

<math>x(x-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)(x-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i)=0</math>.

Уравнение имеет пять корней:

<math>x_{1}=0</math>, <math>x_{2}=\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i</math>, <math>x_{3}=-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i</math>, <math>x_{4}=-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i</math>, <math>x_{5}=\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}i</math>.

Ссылки

• О решении уравнения пятой степени
• О решении уравнений высших степеней