Русская Википедия:Уравнение ренормгруппы
Уравнение ренормгруппы (уравнение Каллана — Симанчика, уравнение Овсянникова — Каллана — Симанчика) — дифференциальное уравнение для корреляционных функций (пропагаторов), показывающее их независимость от масштаба рассмотрения. Оно имеет место, например, при рассмотрении динамики системы вблизи критической точки.
Вид уравнения
Уравнение имеет вид:
- <math>(\mathcal{D}_{P\Gamma} + \gamma_W(g))W=0</math>
- <math>\mathcal{D}_{P\Gamma}=\mu {\partial \over \partial\mu} + \beta(g){\partial \over \partial g} - \sum_i \gamma_i(g)e_i {\partial \over \partial e_i}</math>
где
- <math>W</math> — корреляционная функция,
- <math>g</math> — заряд (константа связи),
- <math>\mu</math> — вспомогательный размерный параметр, называемый ренормировочной массой,
- <math>e_i</math> — прочие параметры, характеризующие отклонение от критической точки,
- <math>\mathcal{D}_{P\Gamma}</math> для всех одинаков,
- коэффициент при <math>{\partial \over \partial g}</math> — <math>\beta</math>-функция, <math>\beta(g)=\mu {\partial g \over \partial\mu}</math>,
- <math>\gamma_i</math> — аномальные размерности,
- <math>\gamma_W</math> — аномальная размерность функции <math>W</math>.
В общем случае уравнение может быть расширено на любые ренорминвариантные величины — те величины, которые зависят только от затравочных параметров <math>e_i</math>. Такими величинами, например, являются функции Грина и различные функционалы над ней (производящий функционал связных функций Грина <math>W</math>, производящий функционал 1-неприводимых функций Грина <math>\Gamma</math>).
Соотношения, связывающие ренормированные и неренормированные производящие функционалы:
- полных функций Грина <math>G_R(A)=G(Z^{-1}_\varphi A)</math>, где <math>G(A)=\langle \exp(A\varphi) \rangle_\varphi</math>;
- связных функций Грина <math>W_R(A)=W(Z^{-1}_\varphi A)</math>, где <math>W=\ln(G(A))</math>.
- 1-неприводимых функций Грина <math>\Gamma_R(\alpha)=\Gamma(Z_\varphi \alpha)</math>, где <math>\Gamma(\alpha)=W(A(\alpha))-A\cdot \alpha, \alpha={\delta W \over \delta A}</math>.
Тогда уравнение запишется в виде:
- Для ренормированной связной функции <math>W_R(A)</math>:
- <math>(\mathcal{D}_{P\Gamma} + \gamma_\varphi \mathcal{D}_{A})W_R(A; e,\mu)=0 </math>, где <math> \mathcal{D}_{A}=\int dx A(x){\delta \over \delta A(x)}</math>,
- Для ренормированной 1-неприводимой функции <math>\Gamma_R(\alpha)</math>:
- <math>(\mathcal{D}_{P\Gamma} - \gamma_\varphi \mathcal{D}_{A})\Gamma_R(\alpha; e, \mu)=0 </math>, где <math> \mathcal{D}_{A}=\int dx \alpha(x){\delta \over \delta \alpha(x)}</math>
В обоих уравнениях <math>\gamma_\varphi=\mathcal{D}_{P\Gamma} \ln (Z_\varphi)</math>. Коэффициенты при производных в операторе <math>\mathcal{D}_{P\Gamma}</math> и величину <math>\gamma_\varphi</math> называют РГ-функциями.
Физический смысл
При рассмотрении систем многих частиц, например, в квантовой теории поля или в теории критического поведения и стохастической динамике, часто оказывается, что функциональный интеграл, описывающий усреднение некоторой величины по различным конфигурациям системы, расходится. Тем не менее, оказывается возможным получить различную информацию о системе при помощи различных методов регуляризации и ренормировки. Одним из широко распространенных методов является мультипликативная ренормировка. Суть этого метода в том, что функции Грина являются обобщенно-однородными функциями параметров модели. Уже из этого свойства функций Грина можно многое сказать об их поведении вблизи критических точек, например, о критических показателях, если речь идет о критическом поведении систем многих частиц, или о том, как изменяется константа связи модели при изменении энергии взаимодействия частиц, если речь идет о квантовой электродинамике. При этом, уравнение ренормгруппы позволяет перейти от прямого анализа функций Грина модели непосредственно к анализу параметров и наблюдаемых величин.
Вывод уравнения
Вывод уравнения ренормгруппы основан на свойстве обобщенной однородности и гипотезе подобия.
Обозначим через <math>\phi_0</math> и <math>\phi</math> затравочное и перенормированное поля соответственно. Тогда парный коррелятор неперенормированных полей задается как <math>W_0=\langle \phi_0(x_1)\phi_0(x_2) \rangle</math>, а перенормированных: <math>W=\langle \phi(x_1)\phi(x_2) \rangle</math>. Согласно определению обобщенно-однородной (лямбда-однородной) функции <math>Z^{n/2}W(x_1,x_2,\mu,g(\mu),\{e_i(\mu)\})=W_0(x_1,x_2), \{e_i(\mu)\} - </math> набор наблюдаемых параметров системы. Теперь изменим немного параметры системы, но оставим неизменными импульс обрезания и затравочные константы. Очевидно, что при этом неперенормированные функции Грина не изменятся, так как они зависят только от импульса обрезания и затравочных констант. Поэтому полная производная по параметру \mu от обеих частей равна 0. Координаты частиц явно не зависят от масштаба <math>\mu</math>. Следовательно, имеем:
- <math>(\mathcal{D}_{P\Gamma} + \gamma_W(g))W=0, \mathcal{D}_{P\Gamma}=\mu {\partial \over \partial\mu} + \beta(g){\partial \over \partial g} - \sum_i \gamma_i(g)e_i {\partial \over \partial e_i}</math>
Примечание
В некоторых источниках под уравнением ренормгруппы понимается не вышеописанное уравнение, а одно из его следствий:
- <math>{\partial g \over \partial \ln(\mu)} = \psi(g) = \beta(g)</math>.
И та, и другая форма уравнения ренормгруппы имеет как свои плюсы, так и минусы. К плюсам этой формы записи относится явный вид зависимости константы связи от масштаба энергии, к минусам — не очевидно, как выглядят аномальные размерности модели. Тем не менее, этот вид уравнения сыграл значительную роль в становлении квантовой электродинамики и теоретическом обосновании сильного взаимодействия.
См. также
Литература
- Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — СПб.: издательство ПИЯФ, 1998.
