Русская Википедия:Уравнение четвёртой степени

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Polynomialdeg4.png

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками

Уравне́ние четвёртой сте́пени — в математике алгебраическое уравнение вида:

<math>f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0.</math>

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция <math>f(x)</math> является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если <math>a>0</math>, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если <math>a<0</math>, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Корни уравнения четвёртой степени <math>x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4</math> связаны с коэффициентами <math>a,\,b,\,c,\,d,\,e</math> следующим образом:

<math>x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a},</math>

<math>x_1\,x_2 + x_1\,x_3 + x_1\,x_4 + x_2\,x_3 + x_2\,x_4 + x_3\,x_4 = \frac{c}{a},</math>

<math>x_1\,x_2\,x_3+x_1\,x_2\,x_4 + x_1\,x_3\,x_4 + x_2\,x_3\,x_4 = -\frac{d}{a},</math>

<math>x_1\,x_2\,x_3\,x_4 = \frac{e}{a}.</math>

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.

Решения

Решение через резольвенту

Решение уравнения четвёртой степени

<math> x^4 + px^2 + qx + r = 0</math>

сводится к решению кубической резольвенты

<math>y^3 - 2py^2 + (p^2 - 4r)y + q^2 = 0.</math>

Корни резольвенты <math>y_1, y_2, y_3</math> связаны с корнями исходного уравнения <math>x_1, x_2, x_3, x_4</math> (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

<math>y_1 = (x_1 + x_2)(x_3 + x_4),</math>

<math>y_2 = (x_1 + x_3)(x_2 + x_4),</math>

<math>y_3 = (x_1 + x_4)(x_2 + x_3).</math>

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано.

Три формулы соотношений между <math> y_i</math> и <math>x_i</math> вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при <math>x^3 </math>)

<math>x_1+x_2+x_3+x_4 = 0 </math>

дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера

В уравнении четвёртой степени

<math> ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \quad a \ne 0</math>

сделаем подстановку <math>x = y - \frac{b}{4a}</math>, получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

<math> y^4 + py^2 + qy + r = 0,</math>

где <math> p = \frac{8ac - 3b^2}{8a^2},</math>

<math> q = \frac{8a^2d - 4abc + b^3}{8a^3},</math>

<math> r = \frac{256a^3e - 64a^2bd + 16ab^2c - 3b^4}{256a^4}.</math>

Корни <math>y_1,\,y_2,\,y_3,\,y_4</math> такого уравнения равны одному из следующих выражений:

<math>\pm \sqrt{z_1}</math> <math>\pm \sqrt{z_2}</math> <math>\pm \sqrt{z_3},</math>

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

<math>(\pm \sqrt{z_1})(\pm \sqrt{z_2})(\pm \sqrt{z_3}) = -\frac{q}{8},</math>

причём <math>z_1,\,z_2,\,z_3</math> — это корни кубического уравнения

<math>z^3 + \frac{p}{2}z^2 + \frac{p^2 - 4r}{16}z - \frac{q^2}{64} = 0.</math>

Решение Феррари

Шаблон:Main Решение уравнения четвёртой степени вида <math>x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0</math> может быть найдено по методу Феррари. Если <math>y_1</math> — произвольный корень кубического уравнения Шаблон:EF (резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

<math>x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d}</math>

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение — алгебраическое уравнение четвёртой степени вида <math>ax^4+bx^2+c=0</math>, где <math>a, b, c</math> — заданные комплексные числа и <math>a\not=0</math>. Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой <math>y=x^2; y\geqslant 0</math> оно сводится к квадратному уравнению относительно <math>y</math>.

Четыре его корня находятся по формуле

<math>x_{1,2,3,4} = \pm \sqrt{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}.</math>

Возвратные уравнения четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0</math> такого, что <math>a \neq 0</math>, решение находится приведением к виду:

<math>a\left(x^2 + {1 \over x^2}\right) + b\left(x + {1 \over x}\right) + c =0 </math>,

После замены <math>t = {x + {1 \over x}}</math> ищется решение квадратного уравнения <math>at^2 + bt + c - 2a = 0</math>, а затем — квадратного уравнения <math>x^2 - tx + 1 = 0</math>.

Литература

• Шаблон:Книга
• Лекция 4 в кн.: Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:PlanetMath