Русская Википедия:Уравнение электромагнитной волны

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнение электромагнитной волны  — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распространение электромагнитных волн через среду или в вакуумe. Это трёхмерная форма волнового уравнения. Однородная форма уравнения, записанная в терминах либо электрического поля Шаблон:Math, либо магнитного поля Шаблон:Math, имеет вид:

<math>\begin{align}

\left(v_{ph}^2\nabla^2 - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E} &= \mathbf{0} \\ \left(v_{ph}^2\nabla^2 - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B} &= \mathbf{0} \end{align}</math>

где

<math> v_{ph} = \frac{1}{\sqrt {\mu\varepsilon}} </math>

— скорость света (т.e. фазовая скорость) в среде с магнитной проницаемостью Шаблон:Mvar и диэлектрической проницаемостью Шаблон:Mvar, а Шаблон:Math — оператор Лапласа. В вакууме Шаблон:Math — фундаментальная физическая постоянная. Уравнение электромагнитной волны вытекает из уравнения Максвелла. В большинстве старых литературных источников Шаблон:Math называется плотностью магнитного потока или магнитной индукцией. Следующие уравнения

<math>\begin{align}

\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0\\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \end{align}</math> обозначают, что любая электромагнитная волна должна быть поперечной, где электрическое поле Шаблон:Math и магнитное поле Шаблон:Math оба перпендикулярны направлению распространения волны.

Происхождение уравнения электромагнитной волны

Файл:Postcard-from-Maxwell-to-Tait.jpg

Открытка от Максвелла Питеру Тейту.

В своей статье 1865 года под названием «Шаблон:Iw» Джеймс Максвелл использовал поправку к закону циркуляции Ампера, которую он внёс в часть III своей статьи 1861 года «О физических силовых линиях». В части VI своей статьи 1864 года под названием «Электромагнитная теория света», Максвелл объединил ток смещения с некоторыми другими уравнениями электромагнетизма и получил волновое уравнение со скоростью, равной скорости света. Он комментировал:

Согласование результатов, по-видимому, показывает, что свет и магнетизм являются воздействиями одного и того же вещества, и что свет является электромагнитным возмущением, распространяющимся через поле в соответствии с электромагнитными законами.

Вывод Максвеллом уравнения электромагнитной волны был заменён в современном физическом образовании гораздо менее громоздким методом, включающим объединение исправленной версии закона циркуляции Ампера с законом индукции Фарадея.

Чтобы получить уравнение электромагнитной волны в вакууме с использованием современного метода, мы начинаем с уравнений Максвелла в форме Хевисайда. В пространстве без тока и заряда эти уравнения запишутся в виде:

<math>\begin{align}

\nabla \cdot \mathbf{E}  & = 0 \\
\nabla \times \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\\
\nabla \cdot \mathbf{B}  & = 0 \\
\nabla \times \mathbf{B} & = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}\\

\end{align}</math>

Это общие уравнения Максвелла, специализированные для случая, когда заряд и ток равны нулю. Взятие ротора вихревого уравнения даёт:

<math>\begin{align}

\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) &= \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla \times \mathbf{B} \right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \\ \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{B} \right) &= \nabla \times \left(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} \end{align}</math>

Мы можем использовать векторное тождество

<math>\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{V} \right) = \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{V} \right) - \nabla^2 \mathbf{V}</math>

где Шаблон:Math — любая векторная функция пространства. И

<math>\nabla^2 \mathbf{V} = \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf{V} \right)</math>

где Шаблон:Math — диада, которая при работе с оператором дивергенции Шаблон:Math даёт вектор. Поскольку

<math>\begin{align}

\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0\\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \end{align}</math>

первый член справа в тождестве обращается в нуль, и мы получаем волновые уравнения:

<math>\begin{align}

\frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} &= 0\\ \frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} &= 0 \end{align}</math>

где

<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 2.99792458 \times 10^8\;\text{м/с}</math>

— скорость света в свободном пространстве.

Ковариантная форма однородного волнового уравнения

Файл:Time dilation02.gif

Замедление времени при трансверсальном движении. Требование, чтобы скорость света была постоянной в каждой инерциальной система отсчёта, приводит к специальной теории относительности.

Эти релятивистские уравнения могут быть записаны в контравариантной форме как

<math>\Box A^{\mu} = 0</math>

где электромагнитный четырехпотенциал равен

<math>A^{\mu}= \left (\frac{\phi}{c}, \mathbf{A} \right)</math>

с условием калибровки Лоренца:

<math>\partial_{\mu} A^{\mu} = 0,</math>

и где

<math>\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}</math>

является оператором Д’Аламбера.

Однородное волновое уравнение в искривлённом пространстве-времени

Уравнение электромагнитной волны модифицируется двумя способами, производная заменяется ковариантной производной и появляется новое слагаемое, которое зависит от кривизны.

<math> -{A^{\alpha ; \beta}}_{; \beta} + {R^{\alpha}}_{\beta} A^{\beta} = 0 </math>

где <math> {R^\alpha}_\beta </math> — тензор Риччи, а точка с запятой указывает на ковариантное дифференцирование.

Допускается обобщение Шаблон:Iw в искривлённом пространстве-времени:

<math> {A^\mu}_{; \mu} = 0. </math>

Неоднородное уравнение электромагнитной волны

Локализованные изменяющиеся во времени плотности заряда и тока могут выступать в качестве источников электромагнитных волн в вакууме. Уравнения Максвелла можно записать в виде волнового уравнения с источниками. Добавление источников к волновым уравнениям делает дифференциальные уравнения в частных производных неоднородными

Решения однородного уравнения электромагнитной волны

Шаблон:Main Общим решением уравнения электромагнитной волны является линейная суперпозиция волн в виде

<math>\begin{align}

\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &= g(\phi(\mathbf{r}, t)) = g(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}) \\ \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &= g(\phi(\mathbf{r}, t)) = g(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}) \end{align}</math>

практически для любой хорошо управляемой функции Шаблон:Mvar безразмерного аргумента Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar — угловая частота (в радианах в секунду), и Шаблон:Math — волновой вектор (в радианах на метр).

Хотя функция Шаблон:Mvar может быть и часто является монохроматической синусоидальной волной, она не обязательно должна быть синусоидальной или даже периодической. На практике, Шаблон:Mvar не может иметь бесконечную периодичность, потому что любая реальная электромагнитная волна всегда имеет конечную протяжённость во времени и пространстве. В результате, исходя из теории разложения Фурье, реальная волна должна состоять из суперпозиции бесконечного набора синусоидальных частот.

К тому же, чтобы решение было правильным, волновой вектор и угловая частота не должны быть независимыми; они должны подчиняться дисперсионному соотношению:

<math> k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } = { 2 \pi \over \lambda } </math>

где Шаблон:Mvar — волновое число и Шаблон:Mvar — длина волны. Переменная Шаблон:Mvar может использоваться в этом уравнении только тогда, когда электромагнитная волна находится в вакууме.

Монохроматическое, синусоидальное стационарное состояние

Простейший набор решений волнового уравнения вытекает из предположения о синусоидальных формах волн одной частоты в разделяемой форме:

<math>\mathbf{E} (\mathbf{r}, t) = \Re \left \{ \mathbf{E}(\mathbf{r}) e^{i \omega t} \right \}</math>

где

• Шаблон:Mvar — мнимая единица,
• Шаблон:Math — угловая частота в радианах в секунду,
• Шаблон:Math — частота в Гц, и
• <math> e^{i \omega t} = \cos(\omega t) + i \sin(\omega t)</math> — формула Эйлера.

Решения для плоских волн

Рассмотрим плоскость, определяемую единичным нормальным вектором

<math> \mathbf{n} = { \mathbf{k} \over k }. </math>

Тогда решения волновых уравнений для плоских бегущих волн имеют вид

<math>\begin{align}

\mathbf{E}(\mathbf{r}) &= \mathbf{E}_0 e^{ -i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} } \\ \mathbf{B}(\mathbf{r}) &= \mathbf{B}_0 e^{ -i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} } \end{align}</math>

где Шаблон:Math — позиционный вектор (в метрах).

Эти решения представляют собой плоские волны, движущиеся в направлении нормального вектора Шаблон:Math. Если мы определим направление Шаблон:Mvar как направление Шаблон:Math, а направление Шаблон:Mvar как направление Шаблон:Math, то по закону Фарадея магнитное поле лежит в направлении Шаблон:Mvar и связано с электрическим полем соотношением

<math>c^2{\partial B \over \partial z} = {\partial E \over \partial t}.</math>

Поскольку дивергенция электрического и магнитного полей равна нулю, поля в направлении распространения отсутствуют.

Это решение является линейно поляризованным решением волновых уравнений. Существуют также циркулярно поляризованные решения, в которых поля вращаются вокруг нормального вектора.

Спектральное разложение

Из-за линейности уравнений Максвелла в вакууме их решения можно разложить в суперпозицию синусоид. На этом основан метод преобразования Фурье для решения дифференциальных уравнений. Синусоидальное решение уравнения электромагнитной волны имеет вид

<math>\begin{align}

\mathbf{E} (\mathbf{r}, t) &= \mathbf{E}_0 \cos(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0) \\ \mathbf{B} (\mathbf{r}, t) &= \mathbf{B}_0 \cos(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0) \end{align}</math>

где

• Шаблон:Mvar — время (в секунду),
• Шаблон:Mvar — угловая частота (в радианах в секунду),
• Шаблон:Math — волновой вектор (в радианах на метр), и
• <math> \phi_0 </math> — фазовый угол (в радианах).

Волновой вектор связан с угловой частотой следующим образом

<math> k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } = { 2 \pi \over \lambda } </math>

где Шаблон:Mvar — волновое число и Шаблон:Mvar — длина волны.

Электромагнитный спектр — это график зависимости величины поля (или энергии) от длины волны.

Мультипольное разложение

Если предположить, что монохроматические поля изменяются во времени по закону <math>e^{-i \omega t}</math>, то при использовании уравнений Максвелла для устранения Шаблон:Math уравнение электромагнитной волны сводится к уравнению Гельмгольца для Шаблон:Math:

<math> (\nabla^2 + k^2)\mathbf{E} = 0,\, \mathbf{B} = -\frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{E},</math>

с Шаблон:Math, как указано выше. Альтернативно, можно исключить Шаблон:Math в пользу Шаблон:Math, чтобы получить:

<math> (\nabla^2 + k^2)\mathbf{B} = 0,\, \mathbf{E} = -\frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{B}.</math>

Общее электромагнитное поле с частотой Шаблон:Mvar может быть записано как сумма решений этих двух уравнений. Трёхмерные решения уравнения Гельмгольца можно выразить в виде разложения по сферическим функциям с коэффициентами, пропорциональными сферическим функциям Бесселя. Однако применение этого разложения к каждой компоненте вектора Шаблон:Math или Шаблон:Math даст решения, которые в общем случае не являются бездивергентными (Шаблон:Math), и поэтому требуют дополнительных ограничений на коэффициенты.

Мультипольное разложение обходит эту трудность, разлагая не Шаблон:Math или Шаблон:Math, а Шаблон:Math или Шаблон:Math на сферические функции. Эти разложения по-прежнему решают исходные уравнения Гельмгольца для Шаблон:Math и Шаблон:Math потому что для бездивергентного поля Шаблон:Math, Шаблон:Math. Полученные выражения для общего электромагнитного поля имеют вид:

<math>\begin{align}

\mathbf{E} &= e^{-i \omega t} \sum_{l,m} \sqrt{l(l+1)} \left[ a_E(l,m) \mathbf{E}_{l,m}^{(E)} + a_M(l,m) \mathbf{E}_{l,m}^{(M)} \right] \\ \mathbf{B} &= e^{-i \omega t} \sum_{l,m} \sqrt{l(l+1)} \left[ a_E(l,m) \mathbf{B}_{l,m}^{(E)} + a_M(l,m) \mathbf{B}_{l,m}^{(M)} \right]\,, \end{align}</math>

где <math>\mathbf{E}_{l,m}^{(E)}</math> и <math>\mathbf{B}_{l,m}^{(E)}</math> являются электрическими мультипольными полями порядка (l, m), и <math>\mathbf{E}_{l,m}^{(M)}</math> и <math>\mathbf{B}_{l,m}^{(M)}</math> — соответствующие им магнитные мультипольные поля, и Шаблон:Math и Шаблон:Math — коэффициенты разложения. Мультипольные поля задаются как

<math>\begin{align}

\mathbf{B}_{l,m}^{(E)} &= \sqrt{l(l+1)} \left[B_l^{(1)} h_l^{(1)}(kr) + B_l^{(2)} h_l^{(2)}(kr)\right] \mathbf{\Phi}_{l,m} \\ \mathbf{E}_{l,m}^{(E)} &= \frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{B}_{l,m}^{(E)} \\ \mathbf{E}_{l,m}^{(M)} &= \sqrt{l(l+1)} \left[E_l^{(1)} h_l^{(1)}(kr) + E_l^{(2)} h_l^{(2)}(kr)\right] \mathbf{\Phi}_{l,m} \\ \mathbf{B}_{l,m}^{(M)} &= -\frac{i}{k} \nabla \times \mathbf{E}_{l,m}^{(M)}\,, \end{align}</math>

где Шаблон:Math — сферические функции Ганкеля, Шаблон:Math и Шаблон:Math определяются граничными условиями, и

<math>\mathbf{\Phi}_{l,m} = \frac{1}{\sqrt{l(l+1)}}(\mathbf{r} \times \nabla) Y_{l,m}</math>

— векторные сферические гармоники, нормированные таким образом, что

<math>\int \mathbf{\Phi}^*_{l,m} \cdot \mathbf{\Phi}_{l', m'} d\Omega = \delta_{l,l'} \delta_{m, m'}.</math>

Мультипольное разложение электромагнитного поля находит применение в ряде задач, связанных со сферической симметрией, например, в задачах о диаграмме направленности антенн или ядерном гамма-излучении. Часто в таких приложениях интересует мощность, излучаемая в дальнем поле. В этих областях поля Шаблон:Math и Шаблон:Math асимптотически приближаются к

<math>\begin{align}

\mathbf{B} & \approx \frac{e^{i (kr-\omega t)}}{kr} \sum_{l,m} (-i)^{l+1} \left[a_E(l,m) \mathbf{\Phi}_{l,m} + a_M(l,m) \mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{\Phi}_{l,m} \right] \\ \mathbf{E} & \approx \mathbf{B} \times \mathbf{\hat{r}}. \end{align}</math>

Угловое распределение усреднённой по времени излучаемой мощности даётся следующим образом:

<math>\frac{dP}{d\Omega} \approx \frac{1}{2k^2} \left| \sum_{l,m} (-i)^{l+1} \left[ a_E(l,m) \mathbf{\Phi}_{l,m} \times \mathbf{\hat{r}} + a_M(l,m) \mathbf{\Phi}_{l,m} \right] \right|^2.</math>

См. также

Теория и эксперименты

• Уравнения Максвелла
• Волновое уравнение
• Дифференциальное уравнение в частных производных
• Шаблон:Iw
• Электромагнитное излучение
• Закон сохранения электрического заряда
• Свет
• Электромагнитный спектр
• Оптика

• Специальная теория относительности
• Общая теория относительности
• Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw
• Формула Лармора
• Шаблон:Iw

Приложения

• Радуга
• Реликтовое излучение
• Лазер
• Инерциальный управляемый термоядерный синтез
• Фотография
• Рентгеновское излучение
• Рентгеноструктурный анализ
• Радар

• Радиоволны
• Оптический компьютер
• Микроволновое излучение
• Голография
• Микроскоп
• Телескоп
• Гравитационная линза
• Шаблон:Iw

Биографии

• Андре-Мари Ампер
• Альберт Эйнштейн
• Майкл Фарадей
• Генрих Герц
• Оливер Хевисайд
• Джеймс Максвелл
• Хендрик Лоренц

Литература

Электромагнетизм

Журнальные статьи

• Шаблон:Cite journal

Учебники для студентов вузов

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Учебники для выпускников вузов

• Шаблон:Cite book
• Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Векторный анализ

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book