Русская Википедия:Уравнение xʸ = yˣ

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство <math>x^y=y^x</math> выполняется для некоторых пар <math>(x,y),</math> например, <math>x=2, y=4.</math>

История

Уравнение <math>x^y=y^x</math> упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728). В письме говорится, что при <math>x\ne y</math> пара <math>(2,4)</math> — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729) содержится общее решение уравнения, полученное заменой <math>y=vx.</math> Аналогичное решение дано Эйлером. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если <math>r, n</math> — положительные целые, <math>r\geqslant 3</math> или <math>n\geqslant 3,</math> то <math>r^{r+n} > (r+n)^{r},</math> таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи <math>x = 1</math> и <math>x = 2.</math>

Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на олимпиаде имени Патнема, что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поля.

Решения в действительных числах

Шаблон:Mainref Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения <math>x=y.</math> Нетривиальные решения можно найти, положив <math>x\ne y,</math> <math>y = vx.</math> Тогда

<math>(vx)^x = x^{vx} = (x^v)^x.</math>

Возведение обеих сторон в степень <math>\tfrac{1}{x}</math> с последующим делением на <math>x</math> даёт

<math>v = x^{v-1}.</math>

Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как

<math>x = v^{\frac{1}{v-1}},</math>

<math>y = v^{\frac{v}{v-1}}.</math>

Нетривиальное решение в натуральных числах <math>4^2=2^4</math> можно получить, положив <math>v=2</math> или <math>v=\tfrac{1}{2}.</math>

Решение в терминах W-функции Ламберта

Решение уравнения <math>y^x=x^y</math> возможно также выразить через неэлементарную W-функцию Ламберта <math>W(x)</math> от переменной <math>x</math>:

<math>y^x=x^y\Longleftrightarrow y^\frac{1}{y}=x^\frac{1}{x}</math>, сделаем замену <math>x=\frac{1}{z}</math>:

<math>y^\frac{1}{y}=\biggl(\frac{1}{z}\biggr)^{1\div \frac{1}{z}}\Longleftrightarrow \biggl(\frac{1}{z}\biggr)^z=y^\frac{1}{y}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^\frac{1}{y}\Longleftrightarrow z^z=y^{-\frac{1}{y}}</math>

Теперь переменную <math>z</math> можно выразить через W-функцию Ламберта: <math>z=e^{W\bigl(\ln\bigl(y^{-\frac{1}{y}}\bigr)\bigr)}</math>

Окончательно решение будет выглядеть так: <math>x=e^{-W\bigl(\ln\bigl(y^{-\frac{1}{y}}\bigr)\bigr)}</math>

В частности, в виду неоднозначности данной функции, на промежутке <math>e^{-\frac{1}{e}}\leqslant y^{-\frac{1}{y}}<1</math> или <math>e^{\frac{1}{e}}\leqslant y^{\frac{1}{y}}<1</math> уравнение буде иметь два корня <math>x_1,x_2</math>.

Какой из параметров (<math>y</math> или <math>x</math>), будет переменной, в сущности, не важно, формула останется такой же.

Если при переменной <math>x</math>(или <math>y</math>) верно неравенство <math>y</math>(или <math>x</math>)<<math>e^\frac{1}{e}</math>, то корней в действительных числах нет.

Решение в терминах суперкорня второй степени

Уравнение <math>y^x=x^y</math> является частным случаем уравнения <math>y^{x}=bx^{n},\text{ }y,b=const</math> при <math>b=1</math> и <math>n=y</math>. Подставив эти значения в общую формулу решения легко найти и решение исходного уравнения:

<math>y^x=x^y\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log_y\biggl({}^\frac{1}{2}\Bigl(y^{\pm \frac{1}{y\times \sqrt[y]{1}}}\Bigr)\biggr)^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log_y\biggl({}^\frac{1}{2}\Bigl(y^{\pm \frac{1}{y}}\Bigr)\biggr)</math>

Данное решение более полно, так как позволяет получить отрицательные действительные корни, если они существуют (потому что логарифм, в отличие от экспоненты в предыдущем решении, может быть меньше нуля). Существование третьего корня объясняется эквивалентностью уравнений <math>y^x=x^y</math> и <math>y^x=(-x)^y</math> при чётном <math>y</math>, однако, на практике, существует только, максимум, два действительных корня (третий корень в формуле обязательно посторонний) из-за того, что функция суперкорня второй степени <math>f(z)={}^\frac{1}{2}z</math> есть обратная к вышеописанной функции <math>f(z)=z^z</math> (иначе <math>f(z)={}^2z</math>), которая выражается через W-функцию Ламберта, которая, в свою очередь, принимать более двух действительных значений не может.

Из данного решения вытекает тождественное равенство: <math> -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})}}</math>. Это легко доказать, приравняв оба вышеописанных решения друг к другу:

<math> -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})=-\frac{1}{y}</math>, далее согласно свойствам логарифма и суперкорня второй степени:

<math> \log _{y}\biggl({}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})\biggr)^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-\frac {1}{y}})}=-\frac{1}{y}\Longleftrightarrow \log_{y}(y^{-\frac{1}{y}})=-\frac{1}{y}</math>. Доказанное тождество является частным от более общего случая при <math>b=-y</math>.

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:OEIS long