Русская Википедия:Уравнения Аппеля
Шаблон:Классическая механика В классической механике уравне́ния Аппе́ля рассматривают как альтернативную формулировку общих уравнений движения, предложенных Ньютоном. Выписаны Полем Аппелем в 1900 [1]. Несмотря на то, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям, получаемым из законов Ньютона и принципа наименьшего действия, уравнения Аппеля в ряде случаев оказываются более удобными, в частности, в случае, когда система стеснена механическими связями.
Формулировка
Пусть задана механическая система из <math>N</math> материальных точек с массами <math>m_1, m_2, \dots , m_N</math>, на которые наложены геометрические (1) и линейные кинематические (2) связи:
- (1) <math>f_{\alpha}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) = 0, \quad \alpha = 1,...,d</math>
- (2) <math>\sum_{\nu=1}^{N} \mathbf{A}_{\beta \nu}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) \cdot \mathbf{\dot{r}}_\nu + A_{\beta}(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_N,t) = 0, \quad \beta = 1,...,g</math>
Требуется описать движение системы, если известны активные силы <math>\mathbf{F}_1,...,\mathbf{F}_N </math> (силы, действующие на каждую точку, зависят от времени, расположения всех точек и их скоростей), и известно начальное состояние системы (положение и скорости всех точек в начальный момент времени).
Одно из важнейших предположений о механической системе, необходимое для справедливости уравнений Аппеля, состоит в том, что возникающие реакции связей предполагаются идеальными, то есть суммарно не производящими работы на любом виртуальном перемещении точек системы.
В случае голономной системы, когда кинематические связи отсутствуют или интегрируемы (то есть сводятся к геометрическим связям), уравнения Аппеля имеют вид:
- (3) <math> \frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{k}} = G_{k}, \quad k=1,...,n</math>
где
- <math> n = 3N - d </math> — число геометрических степеней свободы системы;
- <math> q_1, ..., q_n </math> — произвольная система независимых между собой обобщённых координат, параметризующих пространство возможных геометрических положений системы во всякий момент времени (таким образом, использование этих координат полностью учитывает геометрические связи, наложенные на систему);
- <math> G_1, ..., G_n </math> — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил на произвольном виртуальном перемещении <math>\delta\mathbf{r} = (\delta\mathbf{r}_1,...,\delta\mathbf{r}_N)</math>:
- <math>\delta A = \mathbf{F}_1\delta\mathbf{r}_1 + \ldots + \mathbf{F}_N\delta\mathbf{r}_N = G_1\delta q_1 + \ldots + G_n\delta q_n</math>
- (4) <math> S = \frac{1}{2} \sum_{\nu=1}^{N} m_{\nu} \mathbf{\ddot{r}}_{\nu}^2</math> — так называемая «энергия ускорений», в формуле (3) величина <math>S</math> — функция времени, обобщённых координат и их производных 1-го и 2-го порядков.
В неголономном случае уравнения Аппеля имеют практически тот же самый вид (3), однако в этом случае в формулах участвуют не обобщённые координаты, а псевдокоординаты, которые вводятся следующим образом:
- (5) <math>\dot{\pi}_k = \sum_{i=1}^n\lambda_{ik}\dot{q}_i + \lambda_k, \quad k = 1, ..., n-g</math>.
В этих обозначениях точка сверху над именем переменной <math>\pi_k</math> не обозначает операцию дифференцирования по времени, а составляет часть единого имени переменной. Переменной <math>\pi_k</math>, производная которой по времени совпадала бы с написанным выражением для любых путей движения системы, может не существовать, поэтому о ней говорят как о псевдопеременной (или о псевдокоординате). Во все дальнейшие формулы будут входить либо её производные (как минимум первого порядка), либо дифференциалы, поэтому её псевдо-сущность никак не проявится.
Коэффициенты <math>\lambda_{ik}</math> и <math>\lambda_{i}</math> могут зависеть от времени и координат точек. Кроме того, они должны удовлетворять условию, чтобы определитель матрицы коэффициентов при переменных <math>\dot{q}_i</math> в линейной системе, образованной уравнениями (5) и (2) (записанных в обобщённых координатах), не обращался бы в ноль.
В случае неголономной системы уравнения Аппеля имеют вид:
- (6) <math> \frac{\partial S}{\partial \ddot{\pi}_{k}} = G_{k}, \quad k=1,...,n - g</math>
где
- <math> n = 3N - d</math> — число геометрических степеней свободы системы;
- <math> \pi_1, ..., \pi_{n-g} </math> — система псевдокоординат;
- <math> G_1, ..., G_{n-g} </math> — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил: <math>\delta A = G_1\delta \pi_1 + \ldots + G_n\delta \pi_{n-g}</math>;
- функция S — та же, что в (4), но выраженная через переменные <math>t,q_1,...,q_n,\dot{\pi}_1,...,\dot{\pi}_{n-g},\ddot{\pi}_1,...,\ddot{\pi}_{n-g}</math> (в обозначениях переменных <math>\ddot{\pi}_i</math> только одна из точек — производная по времени!).
Чтобы получить полную систему уравнений движения системы, к уравнениям Аппеля (6) необходимо добавить уравнения кинематических связей (2) и формулы псевдокоординат (5).
Примечания
Литература
Публикации П. Аппеля по данному вопросу
- PDF copy of Appell’s article at Goettingen University
- PDF copy of a second article on Appell’s equations and Gauss’s principle
Дополнительная литература
- Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е издание, переработанное и дополненное — Шаблон:М: Изд-во МГУ — 1974 г., 645 с.
