Русская Википедия:Уравнения Баргмана — Вигнера

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:КТП Уравнения Баргмана — Вигнера — релятивистски инвариантные многокомпонентные спинорные уравнения движения свободных частиц c ненулевой массой и произвольным спином.[1]

Получили название в честь Валентина Баргмана и Юджина Вигнера.

История

Поль Дирак впервые опубликовал уравнение Дирака в 1928 году и позже (1936) обобщил его на частицы с любым полуцелым спином, прежде чем Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера.[2] Юджин Вигнер написал статью в 1937 году об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре.[3] Вигнер отмечает, что Этторе Майорана[4] и Дирак использовали инфинитезимальные операторы и классифицирует представления как неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 году Валентин Баргман и Вигнер опубликовали уравнения, которые теперь названы в их честь, в статье о теоретико-групповом обсуждении релятивистских волновых уравнений.[5]

Формулировка уравнений

Для свободной электрически нейтральной массивной частицы со спином <math>j</math> уравнения БВ представляют собой систему <math>2j</math> линейных дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых имеет математическую форму, аналогичную уравнению Дирака. Система уравнений имеет вид[2][6][7] [8][9]

<math>\begin{align}

& \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_1 \alpha_1'}\psi_{\alpha'_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\ & \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_2 \alpha_2'}\psi_{\alpha_1 \alpha'_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\ & \qquad \vdots \\ & \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_{2j} \alpha'_{2j}}\psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha'_{2j}} = 0 \\ \end{align}</math>

и следует общему правилу;

Шаблон:NumBlk |Шаблон:EquationRef}}

для <math>r = 1, 2, ... 2j</math>.

Волновая функция БВ <math>\psi = \psi (\mathbf{r}, t)</math> имеет компоненты

<math>\psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} (\mathbf{r},t) </math>

и является 4-компонентным спинорным полем ранга 2j. Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, тo есть существует <math>4^{2j}</math> компонент всего спинорного поля <math>\psi</math>, хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает количество независимых компонент до <math>2(2j + 1)</math>. Далее, <math>\gamma^{\mu} = (\gamma^{0}, \mathbf{\gamma})</math> являются матрицами Дирака, и

<math>\hat{P}_\mu = i \hbar \partial_\mu</math>

является четырёхмерным оператором импульса.

Оператор, составляющий каждое уравнение <math>(- \gamma^{\mu} P_{\mu} + mc) = (-i \hbar \gamma^{\mu} \partial_{\mu} + mc)</math>, является матрицей размерности <math>4 \times 4</math>, потому что <math>\gamma^{\mu}</math> матрицы, и <math>mc</math> скалярно умножаются на единичную матрицу размерностью <math>4 \times 4</math> (обычно не пишется для простоты). Явно, в представлении Дирака матриц Дирака:[2]

<math>\begin{align}

-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc & = -\gamma^0 \frac{\hat{E}}{c} - \boldsymbol{\gamma}\cdot(-\hat{\mathbf{p}}) + mc \\ [6pt] & = -\begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \\ \end{pmatrix}\frac{\hat{E}}{c} + \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}} \\ -\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}} & 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \\ \end{pmatrix}mc \\ [8pt] & = \begin{pmatrix} -\frac{\hat{E}}{c}+mc & 0 & \hat{p}_z & \hat{p}_x - i\hat{p}_y \\ 0 & -\frac{\hat{E}}{c}+mc & \hat{p}_x + i\hat{p}_y & -\hat{p}_z \\ -\hat{p}_z & -(\hat{p}_x - i\hat{p}_y) & \frac{\hat{E}}{c}+mc & 0 \\ -(\hat{p}_x + i\hat{p}_y) & \hat{p}_z & 0 & \frac{\hat{E}}{c}+mc \\ \end{pmatrix} \\ \end{align}</math>

где <math>\mathbf{\sigma} = (\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}) = (\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z})</math> является вектором, каждая компонента которого является матрицей Паули, <math>E</math> является оператором энергии, <math>\mathbf{p} = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) = (p_{x}, p_{y}, p_{z})</math> является оператором трёхмерного импульса, <math>I_{2}</math> обозначает единичную матрицу размерностью <math>2 \times 2</math>, нули (во второй строке) обозначают блочную матрицу размерностью <math>2 \times 2</math> составленную из нулевых матриц.

Уравнения БВ обладают некоторыми свойствами уравнения Дирака:

<math>E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2</math>,

В отличие от уравнения Дирака, которое может учитывать действие электромагнитного поля посредством включения слагаемого, описывающего Шаблон:Не переведено 5, формализм БВ при попытке учёта электромагнитного взаимодействия содержит внутренние противоречия и трудности. Другими словами, в уравнения БВ невозможно внести изменение <math>P_{\mu} \rightarrow P_{\mu} - eA_{\mu}</math>, где <math>e</math> - электрический заряд частицы и <math>A_{\mu} = (A_{0}, \mathbf{A})</math> - это электромагнитный потенциал.[10][11] Для исследования электромагнитных взаимодействий в этом случае применяются электромагнитные 4-токи и мультиполи частицы.[12][13]

Структура группы Лоренца

Представление группы Лоренца для уравнений БВ:[10]

<math>D^\mathrm{BW} = \bigotimes_{r=1}^{2j} \left[ D_r^{(1/2,0)}\oplus D_r^{(0,1/2)}\right]\,.</math>

где <math>D_{r}</math> обозначает неприводимое представление.

См. также

Шаблон:Кол

Шаблон:Кол

Источники

Примечания

Шаблон:Примечания

Дальнейшее чтение

Книги

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Избранные статьи

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Внешние ссылки

Релятивистские волновые уравнения:

Группы Лоренца в релятивистской квантовой физике:

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ В этой статье используется соглашение о суммировании Эйнштейна для тензорных/спинорных индексов и используется символ циркумфлекса для обозначения квантовых операторов.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Шаблон:Cite journal
  3. ↑ Шаблон:Cite journal
  4. ↑ Э. Майорана Релятивистская теория частицы с произвольным внутренним угловым моментом // Л. Мишель, М. Шааф Симметрия в квантовой физике. — М., Мир, 1974. — с. 239-247
  5. ↑ Шаблон:Cite journal
  6. ↑ Шаблон:Cite journal
  7. ↑ Шаблон:Cite journal
  8. ↑ Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы. — Л., ЛГУ, 1983. — с. 326 - 327
  9. ↑ Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц. — М., Наука, 1972. — с. 150 - 153
  10. ↑ 10,0 10,1 Шаблон:Cite journal
  11. ↑ Шаблон:Cite news
  12. ↑ Шаблон:Cite arXiv
  13. ↑ Шаблон:Cite journal
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Уравнения_Баргмана_—_Вигнера&oldid=11062682