Русская Википедия:Уравнения Беккера-Дёринга

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнения Беккера-Дёринга (Шаблон:Lang-en) — уравнения, моделирующие динамику коагуляции и фрагментации кластеров идентичных частиц, разработаны в 1935 году немецкими учёными Беккером и Дёрингом. Пишутся в предположении о молекулярном механизме изменения агрегационного числа (то есть, числа молекул в зародыше) <math>n</math> и описывают эволюцию концентраций зародышей <math> {c_n}</math> во времени. В частности, уравнения Беккера-Дёринга широко используются при описании кинетики мицеллярных систем.

Молекулярный механизм

Ограничимся рассмотрением неионного однокомпонентного ПАВ. Обозначая через <math> \{ n\}</math> зародыш, состоящий из <math>n</math> молекул ПАВ можем рассматривать такой механизм прямых и обратных переходов:

<math> \{ n\} + \{ 1\} \overset{{b_{n + 1}}}{\underset{{a_n}{c_1}}{\leftrightarrows}} \{ n + 1\} \quad n = 1,2,..., </math>

где <math> {a_n}{c_1}</math> - число мономеров ПАВ, поглощаемых агрегатом <math> \{ n\}</math> за единицу времени (величины <math> {a_n}</math> могут быть названы скоростями присоединения мономеров), <math> {b_{n+1}}</math> – число мономеров ПАВ, испускаемых агрегатом <math> \{ n+1\}</math> в раствор за единицу времени.

Уравнения

Уравнения Беккера-Дёринга для концентраций зародышей имеют вид:

<math> \begin{array}{l} \frac{{\partial {c_n}}}Шаблон:\partial t = - \left( {{J_n} - {J_{n - 1}}} \right)\quad n = 2,3,...,\\ \frac{{\partial {c_1}}}Шаблон:\partial t = - {J_1} - \sum\limits_{k = 1}^{\infty } Шаблон:J k, \end{array} </math>

где <math> {J_n}</math> — потоки вдоль оси чисел агрегации:

<math> {J_n} = {a_n}{c_1}{c_n} - {b_{n + 1}}{c_{n + 1}}. </math>

См. также

• Кинетическое уравнение Больцмана

Литература

• Slemrod M. (2000) The Becker-Döring Equations. In: Bellomo N., Pulvirenti M. (eds) Modeling in Applied Sciences. Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology. Birkhäuser, Boston, MA.
• Ball, J.M., Carr, J. & Penrose, O. Commun.Math. Phys. (1986) 104: 657. https://doi.org/10.1007/BF01211070.
• Asymptotic behaviour of solutions to the Becker-Döring equations for arbitrary initial data. Ball, J. M.Carr, J. //Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics 1988.