Русская Википедия:Уравнения Дена — Соммервиля

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника. Эти уравнения можно переписать для симплициальных многогранников поскольку последние двойственны к простым многогранникам.

Формулировка

Для данного простого <math>n</math>-мерного многогранника <math>P</math> обозначим через <math>f_k</math> количество граней <math>P</math> размерности <math>k</math>; в частности, <math>f_n=1</math>. Рассмотрим формальную сумму

<math>\sum_k f_k\cdot(t-1)^k=\sum_k h_k\cdot t^k</math>

где <math>h_k=\sum_{i\geqslant k}f_i(-1)^{i-k}\binom{i}{k}</math>, то есть коэффициенты <math>h_k</math> возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.

Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

<math> h_k=h_{n-k}</math>

для каждого целого <math>k</math>.

Связанные определения

  • Последовательность <math>(f_0,f_1,\dots,f_n)</math> называется f-вектором многогранника.
  • Последовательность <math>(h_0,h_1,\dots,h_n)</math> называется h-вектором многогранника.
    • Если <math>\ell\colon\R^n \to\R</math> — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника <math>P</math> лежат на разных уровнях <math>\ell</math>, тогда <math>h_k</math> равно числу вершин <math>P</math> индекса <math>k</math>; то есть ровно <math>k</math> рёбер из этой вершины идут вниз по <math>\ell</math>. Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой <math>\ell</math> на <math>-\ell</math>.
      • В дополнении получаем <math>h_k\geqslant 0</math> для любого <math>k</math>, это даёт нетривиальные неравенства на <math>f</math>-вектор.

История

В размерности 4 и 5 соотношения были описаны Максом Деном[1]. В общем случае уравнения были описаны Шаблон:Нп1 в 1927.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

  1. M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561—586