Русская Википедия:Уравнения Лагранжа (гидромеханика)
Уравне́ния Лагра́нжа (в гидромеханике) — дифференциальные уравнения движения частиц несжимаемой идеальной жидкости в переменных Лагранжа, имеющие вид:
- <math>\left(X-\frac{\partial^2 x}{\partial t^2}\right) \frac{\partial x}{\partial a_i} + \left(Y-\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\right) \frac{\partial y}{\partial a_i}+ \left(Z-\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}\right) \frac{\partial z}{\partial a_i} = \frac{1}{\varrho} \frac{\partial p}{\partial a_i}, \qquad (i=1,2,3), \qquad (1)</math>
где <math>t</math> — время, <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> — координаты частицы жидкости, <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math> — параметры, с помощью которых отличают частицы среды друг от друга (этими параметрами могут быть значения координат <math>x_0</math>, <math>y_0</math>, <math>z_0</math> в некоторый момент времени <math>t_0</math>), <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> — проекции объёмных сил, <math>p</math> — давление, <math>\varrho</math> — плотность. Получены Ж. Л. Лагранжем около 1780 года.
Решение общей задачи гидромеханики в переменных Лагранжа сводится к тому, чтобы, зная <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, а также начальные и граничные условия, определить <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, <math>p</math>, <math>\varrho</math> как функции времени и параметров <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>. Для решения этой задачи необходимо к уравнениям (1) присоединить уравнение неразрывности, имеющее в переменных Лагранжа вид и уравнение состояния <math>\varrho = f(p)</math> для баротропного движения или <math>\varrho = \mathrm{const}</math> для несжимаемой жидкости. Если зависимости <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> от <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>, <math>t</math> найдены, то траектории, скорости и ускорения частиц определяются обычными методами кинематики точки.
- <math>\varrho (a_1,a_2,a_3,t)
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial a_1} & \frac{\partial y}{\partial a_1} &\frac{\partial z}{\partial a_1}
\\ \frac{\partial x}{\partial a_2} & \frac{\partial y}{\partial a_2} &\frac{\partial z}{\partial a_2} \\ \frac{\partial x}{\partial a_3} & \frac{\partial y}{\partial a_3} &\frac{\partial z}{\partial a_3} \end{vmatrix} = \varrho_0 (a_1,a_2,a_3,t_0) \begin{vmatrix}
\frac{\partial x_0}{\partial a_1} & \frac{\partial y_0}{\partial a_1} &\frac{\partial z_0}{\partial a_1}
\\ \frac{\partial x_0}{\partial a_2} & \frac{\partial y_0}{\partial a_2} &\frac{\partial z_0}{\partial a_2} \\ \frac{\partial x_0}{\partial a_3} & \frac{\partial y_0}{\partial a_3} &\frac{\partial z_0}{\partial a_3} \end{vmatrix} \qquad \qquad (2)</math>
Обычно при решении задач гидромеханики пользуются уравнениями Эйлера. Уравнения Лагранжа применяются главным образом при изучении нестационарных движений — в частности, колебательных движений жидкости, в некоторых вопросах теории турбулентности.
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
