Русская Википедия:Уравнения Петерсона ― Кодацци

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Уравнения Петерсона ― Кодацци (или Петерсона ― Майнарди ― Кодацци) ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.

Уравнения

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид

<math>\frac{\partial b_{i1}}{\partial u^2} +\Gamma^1_{i1}b_{12}+\Gamma^2_{i1}b_{22}=

\frac{\partial b_{i2}}{\partial u^1} +\Gamma^1_{i2}b_{11}+\Gamma^2_{i2}b_{21}</math> где <math>b_{ij}</math> ― коэффициенты второй квадратичной формы, <math>\Gamma^i_{jk}</math> ― символы Кристоффеля.

Свойства

  • Теорема Бонне. Пусть <math>g=g_{ij}</math> и <math>b=b_{ij}</math>, <math>i,j\in \{1,2\}</math> две гладкие квадратичные формы заданые в односвязной области <math>U</math>. Если <math>g</math> и <math>b</math> удовлетворяют уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в <math>\mathbb{R}^3</math>, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
    • Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.

История

Уравнения впервые найдены Петерсоном[1] в 1853, переоткрыты Майнарди[2] и Кодацци(1867)[3].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  • Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.
  • Шаблон:Книга
Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Peterson, K. M. "Über die Biegung der Flächen." Dorpat. Kandidatenschrift. 1853.
  2. ↑ Mainardi, G. "Sulle coordinate curvilinee d'una superfice dello spazio." Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385—398, 1856.
  3. ↑ Codazzi, D. "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio." Ann. math. pura applicata 2, 101—19, 1868—1869.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Уравнения_Петерсона_―_Кодацци&oldid=11062729