Русская Википедия:Уравнения Прока

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнения Прока — обобщение уравнений Максвелла, призванное описывать массивные частицы со спином 1. Уравнения Прока обычно записываются в виде

<math>\partial_i F^{i k} + m^2 A^k= 0</math>

<math> F^{k l}= \partial^k A^l - \partial^l A^k</math>,

где <math>\ F^{i k}</math> — антисимметричный тензор электромагнитного поля:

<math>F^{i k} = \left(

\begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)</math>

Уравнения Прока также могут быть представлены в виде

<math>\partial_i F^{i k} + m^2 A^k= 0</math>

<math> ( \partial_k \partial^k + m^2) A^l=0</math>.

Уравнения Прока не являются калибровочно-инвариантными.

Лагранжева плотность

Рассматривается поле четырех-потенциала A^μ = (φ/c, A), где φ — это электростатический потенциал, A — магнитный потенциал. Лагранжева плотность задана следующим образом:

<math>\mathcal{L}=-\frac{1}{16\pi}(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)+\frac{m^2 c^2}{8\pi \hbar^2}A^\nu A_\nu.</math>

где c — скорость света, a ħ — приведенная постоянная Планка.

Вывод уравнения

Уравнение Эйлера — Лагранжа движения для такого Лагранжиана, также называемое Уравнением Прока, имеет следующий вид:

<math>\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2 A^\nu=0</math>

что эквивалентно следующему уравнению

<math>\left[\partial_\mu \partial^\mu+ \left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\right]A^\nu=0</math>

при условии

<math>\partial_\mu A^\mu=0</math>

которое является просто калибровкой Лоренца. При условии, что m = 0, уравнения обращаются в уравнения Максвелла в вакууме (то есть подразумевается отсутствие зарядов и токов). Уравнение Прока тесно связано с уравнением Клейна — Гордона — Фока.

В более привычных терминах уравнение имеет вид:

<math>\Box \phi - \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}\right) =-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\phi</math>

<math>\Box \mathbf{A} + \nabla \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}\right) =-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\mathbf{A}</math>

Также уравнение Прока можно вывести из теоретико-групповых соображений, как уравнение, инвариантное относительно преобразований Пуанкаре и описывающее волновую функцию элементарной частицы с массой <math>m</math>, спином <math>1</math>, положительной энергией, фиксированной P-чётностью.

Литература

• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — 320 с. (с. 29, 33).
• Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 511 с., (с. 86-87).
• Ициксон К., Зюбер Ж.—Б. Квантовая теория поля. Том 1. — М.: Мир, 1984. — 448 с. (с. 166).

См. также

• Уравнение Дирака
• Уравнение Клейна — Гордона
• Уравнения Максвелла
• Прока, Александру

Ссылки

• Уравнение Прока в «Физической энциклопедии»