Русская Википедия:Уравнения Фёппля — фон Кармана

Уравнения Фёппля — фон Кармана — уравнения в теории упругости названы в честь Августа Фёппля^[1] и Теодора фон Кармана,^[2] представляют собой набор нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих большие прогибы тонких плоских пластин.^[3] Применяются в различных областях, начиная от проектирования подводных корпусов подводных лодок до механических свойств клеточной стенки.^[4] Эти уравнения, которые трудно решить, имеют следующий вид: ^[5]

<math>

\begin{align}
  (1) \qquad & \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\nabla^4 w-h\frac{\partial}{\partial x_\beta}\left(\sigma_{\alpha\beta}\frac{\partial w}{\partial x_\alpha}\right)=P \\
  (2) \qquad & \frac{\partial\sigma_{\alpha\beta}}{\partial x_\beta}=0
\end{align}

</math>

где Шаблон:Math — модуль Юнга материала пластины (предполагается однородной и изотропной), Шаблон:Math — коэффициент Пуассона, Шаблон:Math — толщина пластины, Шаблон:Math — прогиб пластины вне плоскости, Шаблон:Math — внешняя нормальная сила на единицу площади пластины, Шаблон:Math — тензор напряжений, и Шаблон:Math — индексы, которые принимают значения 1 и 2 (два ортогональные в плоскости направления). 2-мерный бигармонический оператор определяется как^[6]

<math>

 \begin{align}

    (1) \qquad & \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\nabla^4 w-h\frac{\partial}{\partial x_\beta}\left(\sigma_{\alpha\beta}\frac{\partial w}{\partial x_\alpha}\right)=P \\

    (2) \qquad & \frac{\partial\sigma_{\alpha\beta}}{\partial x_\beta}=0

 \end{align}

</math>

Уравнение (1) можно получить из кинематических допущений и уравнений связи для пластины. Уравнения (2) описывают сохранение импульса в двух измерениях, где предполагается, что в плоскости напряжения (Шаблон:Math) равны нулю.

Границы применимости

Уравнения Фёппля — фон Кармана представляют интерес с чисто математической точки зрения, но физическое применение этих уравнений сомнительно.^[7] Ciarlet^[8] утверждает, что: двумерные уравнения фон Кармана для пластин, первоначально предложенные фон Карманом [1910], играют мифическую роль в прикладной математике. В то время как они часто и с достаточной точностью изучались с математической точки зрения, включая различные вопросы существования, регулярности и бифуркации решений, но их физическая обоснованность часто подвергалась сомнению. Причины включают в себя следующие факты:

теория зависит от геометрического приближения, которое четко не определено;
произвольным образом задаётся изменение напряжения в поперечном сечении;
используются линейные материальные уравнения, что не соответствует известным соотношением между хорошо определёнными напряжениями и деформациями;
произвольно игнорируются некоторые компоненты деформации;
существует путаница между расчетной и деформированной конфигурациями, что делает теорию неприменимой к большим деформациям, для которых она была, видимо, придумана.

Условия, при которых эти уравнения фактически применимы и дают разумные результаты после решения обсуждаются Ciarlet.^[8]^[9]

Уравнения в терминах функции напряжений Эйри

Три уравнения Фёппля — фон Кармана можно сократить до двух путем введения функции напряжения Эйри <math>\varphi</math>, где

<math>

 \sigma_{11} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_2^2} ~,~~
 \sigma_{22} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_1^2} ~,~~
 \sigma_{12} = - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_1 \partial x_2} \,.
</math>

Затем эти уравнения сводятся к^[5]

<math>

\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\Delta^2 w-h\left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}-2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1 \, \partial x_2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \, \partial x_2}\right)=P </math>

<math>

\Delta^2\varphi+E\left\{\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}-\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \, \partial x_2}\right)^2\right\}=0 \,. </math>

Чистый изгиб

Для чистого изгиба тонких пластин уравнения равновесия <math>D\Delta^2\ w=P</math>, где

<math>

D :=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)} </math>

называется изгибной или цилиндрической жесткостью пластины.^[5]

Кинематические предположения (гипотезы Кирхгофа)

При выводе уравнений Фёппля — фон Кармана предполагается верным следующее кинематическое соотношение (также известное как гипотеза Кирхгофа): нормали к поверхности пластины остаются перпендикулярными к пластине после деформации. Также предполагается, что перемещения в плоскости мембраны незначительны и изменения в толщине пластины пренебрежимо малы. Эти предположения подразумевают, что поле смещения Шаблон:Math пластины можно выразить как^[10]

<math>

 u_1(x_1,x_2,x_3) = v_1(x_1,x_2)-x_3\,\frac{\partial w}{\partial x_1} ~,~~
 u_2(x_1,x_2,x_3) = v_2(x_1,x_2)-x_3\,\frac{\partial w}{\partial x_2} ~,~~
 u_3(x_1, x_2, x_3) = w(x_1,x_2) 
</math>

где Шаблон:Math — перемещения в плоскости мембраны. Такая форма поля перемещений неявно предполагает, что вращение пластины мало.

Соотношения между деформациями и перемещениями (деформации фон Кармана)

Компоненты трехмерного лагранжиана тензора деформаций Грина определяются как

<math>

 E_{ij} := \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} 
         + \frac{\partial u_k}{\partial x_i}\,\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right] \,.
</math>

Подстановка выражений для поля смещения даёт

<math>

 \begin{align}
   E_{11} & = \frac{\partial u_1}{\partial x_1}
                  + \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_1}\right)^2
                  + \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right)^2
                  + \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right)^2\right]\\
          &= -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} 
                 + \frac{1}{2}\left[x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\right)^2
                  + x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)^2
                  + \left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2\right]\\ 
    E_{22} & = \frac{\partial u_2}{\partial x_2} 
                  + \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right)^2
                  + \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_2}\right)^2
                  + \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right)^2\right]\\
           &= -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} 
               + \frac{1}{2}\left[x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)^2
                  + x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}\right)^2
                  + \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2\right]\\ 
    E_{33} & = \frac{\partial u_3}{\partial x_3}
                  + \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right)^2
                  + \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right)^2
                  + \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right)^2\right]\\
           &=  \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2
                  + \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2
                  \right]\\
    E_{12} & = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1}  
                  + \frac{\partial u_1}{\partial x_1}\,\frac{\partial u_1}{\partial x_2}
                  + \frac{\partial u_2}{\partial x_1}\,\frac{\partial u_2}{\partial x_2}
                  + \frac{\partial u_3}{\partial x_1}\,\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right]\\
           & = -x_3\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} 
                  + \frac{1}{2}\left[x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1\partial x_2}\right)
                  + x_3^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}\right)
                  + \frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right]\\
    E_{23} & = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_2}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_2} 
                  + \frac{\partial u_1}{\partial x_2}\,\frac{\partial u_1}{\partial x_3}
                  + \frac{\partial u_2}{\partial x_2}\,\frac{\partial u_2}{\partial x_3}
                  + \frac{\partial u_3}{\partial x_2}\,\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right]\\
           & = \frac{1}{2}\left[x_3\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1\partial x_2}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)
                  + x_3\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)
                 \right]\\
    E_{31} & = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial u_3}{\partial x_1} + \frac{\partial u_1}{\partial x_3} 
                  + \frac{\partial u_1}{\partial x_3}\,\frac{\partial u_1}{\partial x_1}
                  + \frac{\partial u_2}{\partial x_3}\,\frac{\partial u_2}{\partial x_1}
                  + \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\,\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right] \\
          & = \frac{1}{2}\left[x_3\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\right)
                  + x_3\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2}\right)
                  \right]
 \end{align}
</math>

Для малых деформаций, но умеренных поворотов, поправки высших порядков, которыми нельзя пренебюречь

<math>

  \left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 ~,~~  \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 ~,~~
  \frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2} \,.
</math>

Игнорируя все высшие порядки, и соблюдая требования о том, что пластина не меняет своей толщины, компоненты тензора деформации приводятся к виду деформаций фон Кармана

<math>

\begin{align}
  E_{11} & = -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} 
        + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 \\ 
  E_{22} & = -x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} 
       + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \\ 
  E_{12} & = -x_3\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} 
         + \frac{1}{2}\,\frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\\
  E_{33} & = 0 ~,~~ E_{23} = 0 ~,~~ E_{31} = 0 \,.
\end{align}
</math>

Соотношения напряжения–деформации

Если предположить, что компоненты тензора напряжений Коши линейно связаны с деформациями фон Кармана посредством закона Гука, пластина изотропная и однородная и, что пластина подвержена только плоским напряжениям^[11] мы имеем Шаблон:Math = Шаблон:Math = Шаблон:Math = 0 и

<math>

 \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
 = \cfrac{E}{(1-\nu^2)}
 \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
         \nu & 1 & 0 \\         
         0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} E_{11} \\ E_{22} \\ E_{12} \end{bmatrix}
</math>

Разлагая слагаемые получим три ненулевые напряжения

<math>

 \begin{align}
   \sigma_{11} &= \cfrac{E}{(1-\nu^2)}\left[\left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} 
                 + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 \right) + 
                 \nu\left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} 
               + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right) \right] \\
   \sigma_{22} &= \cfrac{E}{(1-\nu^2)}\left[\nu\left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} 
                 + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 \right) + 
                 \left(-x_3\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} 
               + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right) \right] \\
   \sigma_{12} &= \cfrac{E}{(1+\nu)}\left[-x_3\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} 
                  + \frac{1}{2}\,\frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right] \,.
 \end{align}
</math>

Результирующие напряжения

Результирующие напряжения в пластине определяются как

<math>

  N_{\alpha\beta} := \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_{\alpha\beta}\, d x_3 ~,~~
  M_{\alpha\beta} := \int_{-h/2}^{h/2} x_3\,\sigma_{\alpha\beta}\, d x_3 \,.
</math>

Поэтому

<math>

 \begin{align}
   N_{11} &= \cfrac{Eh}{2(1-\nu^2)}\left[\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2 
               + \nu\left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2 \right] \\
   N_{22} &= \cfrac{Eh}{2(1-\nu^2)}\left[\nu\left(\frac{\partial w}{\partial x_1}\right)^2                   
               + \left(\frac{\partial w}{\partial x_2}\right)^2  \right] \\
   N_{12} &= \cfrac{Eh}{2(1+\nu)}\,\frac{\partial w}{\partial x_1}\,\frac{\partial w}{\partial x_2} 
 \end{align}
</math>

и

<math>

 \begin{align}
   M_{11} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\left[\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} +\nu \,\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}  \right] \\
   M_{22} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}\left[\nu \,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} +\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}  \right] \\
   M_{12} &= -\cfrac{Eh^3}{12(1+\nu)}\,\frac{\partial^2 w}{\partial x_1 \partial x_2} \,.
 \end{align}
</math>

Решения легче найти, когда уравнения выражаются через результирующие напряжения, а не напряжения в плоскости.

Уравнения Фёппля — фон Кармана выраженные через результирующие напряжения

Уравнения Фёппля — фон Кармана как правило, получают с помощью энергетического подхода с учетом изменения внутренней энергии и виртуальную работу внешних сил. Аналогичный подход можно использовать для записи этих уравнений через результирующие напряжения. Определяющие уравнения

<math>

 \begin{align}
 &\frac{\partial^2 M_{11}}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 M_{22}}{\partial x_2^2} + 2\frac{\partial^2 M_{12}}{\partial x_1\partial x_2} +
 \frac{\partial}{\partial x_1}\left(N_{11}\,\frac{\partial w}{\partial x_1} + N_{12}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right) +
 \frac{\partial}{\partial x_2}\left(N_{12}\,\frac{\partial w}{\partial x_1} + N_{22}\,\frac{\partial w}{\partial x_2}\right) = P \\
 & \frac{\partial N_{\alpha\beta}}{\partial x_\beta} = 0 \,.
 \end{align}
</math>

Ссылки

Шаблон:Reflist

↑ Föppl А., "Ворлесунген über технический механик", Б. Г. Теубнер, бул. 5., С. 132, Лейпциг, Германия (1907)
↑ фон Kármán, т., "Festigkeitsproblem им Машиненбау," Encyk.
↑ Э. Серда и Л. Махадеван, 2003, "геометрия и физика Сморщивать" физ.
↑ Шаблон:Cite web
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 "Теория упругости".
↑ The 2-dimensional Laplacian, Шаблон:Math, is defined as <math> \Delta w := \frac{\partial^2 w}{\partial x_\alpha \partial x_\alpha} = \frac{\partial^2w}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2w}{\partial x_2^2} </math>
↑ Шаблон:Cite web
↑ ^8,0 ^8,1 Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Citation
↑ Как правило, предположение о нулевой плоскости напряжений производится в этот момент.

[1] Föppl А., "Ворлесунген über технический механик", Б. Г. Теубнер, бул. 5., С. 132, Лейпциг, Германия (1907)

[2] фон Kármán, т., "Festigkeitsproblem им Машиненбау," Encyk.

[3] Э. Серда и Л. Махадеван, 2003, "геометрия и физика Сморщивать" физ.

[4] Шаблон:Cite web

[ld-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 "Теория упругости".

[6] The 2-dimensional Laplacian, Шаблон:Math, is defined as <math> \Delta w := \frac{\partial^2 w}{\partial x_\alpha \partial x_\alpha} = \frac{\partial^2w}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2w}{\partial x_2^2} </math>

[7] Шаблон:Cite web

[Ciarlet-8] 8,0 ^8,1 Шаблон:Citation

[9] Шаблон:Citation

[10] Шаблон:Citation

[11] Как правило, предположение о нулевой плоскости напряжений производится в этот момент.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Уравнения Фёппля — фон Кармана

Содержание

Границы применимости

Уравнения в терминах функции напряжений Эйри

Чистый изгиб

Кинематические предположения (гипотезы Кирхгофа)

Соотношения между деформациями и перемещениями (деформации фон Кармана)

Соотношения напряжения–деформации

Результирующие напряжения

Уравнения Фёппля — фон Кармана выраженные через результирующие напряжения

Ссылки

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты