Русская Википедия:Уравнения Чаплыгина

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнения Чаплыгина — уравнения динамики неголономной системы. Получены С. А. Чаплыгиным в 1895 году. Позволяют упростить уравнения динамики неголономных систем путём исключения из уравнений динамики связей и уменьшения числа интегрируемых уравнений на число связейШаблон:Sfn.

Формулировка

Рассмотрим неголономную систему с <math>s</math> степенями свободы и <math>d</math> неголономными связямиШаблон:Sfn. Обозначим кинетическую энергию системы <math>T</math>, потенциальную энергию <math>\Pi</math>. Обобщённые скорости зависимых координат <math>\dot{q}_{k}=\sum_{m=1}^{s-d}h_{km}\dot{q}_{m} + h_{k}</math>, где <math>k=s-d+1, ..., s</math>. Обозначим <math>T^{*}</math> кинетическую энергию системы после исключения зависимых скоростей <math>\dot{q}_{s-d+1}, \dot{q}_{s-d+2}, ... , \dot{q}_{s}</math>.

Уравнения динамики неголономной системы имеют видШаблон:Sfn

<math> \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial T^{*}}{\partial \dot{q}_{m}} \right ) - \frac {\partial T^{*}}{\partial q_{m}} + \sum_{k=s-d+1}^{s} \frac {\partial T} {\partial \dot{q}_{k}} \sum_{r=1}^{s-d} \left ( \frac {\partial h_{kr}} {\partial q_{m}} - \frac {\partial h_{km}} {\partial q_{r}} \right )

\dot{q}_{r} = - \frac{\partial \Pi}{\partial q_{m}},</math>

где <math> m=1, 2, ..., s-d. </math> В этих уравнениях можно исключить скорости зависимых координат <math>\dot{q}_{s-d+1}, \dot{q}_{s-d+2}, ..., \dot{q}_{s}</math> при помощи уравнений <math>\dot{q}_{k}=\sum_{m=1}^{s-d}h_{km}\dot{q}_{m} + h_{k}</math> и таким образом получить <math>s-d</math> уравнений с <math>s-d</math> неизвестными <math>q_{1}, q_{2}, ..., q_{s-d}</math>, которые интегрируются независимо от уравнений неголономных связейШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга