Русская Википедия:Уравнения Швингера
Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений, связывающих функции Грина в квантовой теории поля. Предложена Джулианом Швингером в 1951 году.
Уравнения Швингера могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариационных производных:
- <math> \left \{\frac{\overrightarrow{\delta} S(\varphi)}{\delta \varphi(x)}\bigg|_{\varphi=\chi\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta iA}}+A(x) \right \}G(A)=0,</math>
где <math>S(\varphi)</math> — функционал действия, <math>G(A)</math> — производящий функционал полных функций Грина. Аргумент функционала <math>A(x)</math> есть классический объект той же природы, что и поле <math>\varphi</math>, то есть обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов, <math>\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta iA}</math> — левая вариационная производная, <math>\chi=+1</math> в бозонном случае, <math>\chi=-1</math> в фермионном случае.
Для теории с полиномиальным по полю действием данное уравнение является уравнением конечного порядка в вариационных производных. Оно определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется производящий функционал функции Грина без вакуумных петель <math>H(A)=G_0^{-1}G(A)</math>, где <math>G_0</math> — производящий функционал функций Грина свободной теории.
Сделав в уравнении подстановку <math>G(A)=e^{W(A)}</math> и сократив после выполнения дифференцирования множитель <math>e^{W(A)}</math>, получим уравнение Швингера для производящего функционала <math>W(A)</math> связных функций Грина <math>W_n</math>.
Представив <math>W(A)</math> в виде ряда
- <math>W(A)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{W_n(iA)^n}{n!},</math>
и сравнивая коэффициенты при всех степенях <math>iA</math>, получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина <math>W_n</math>.
Уравнение Швингера в квантовой электродинамике
Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов <math>A^{\mu} (x)</math> с источником внешнего электромагнитного поля <math>J_{\mu}(x)</math> в минимальной форме — <math>J_{\mu} A^{\mu}</math>. За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику <math>J_{\mu} (x)</math> получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом <math>S[J]</math> источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):
- <math>\mathcal{A^{\mu}}(x) = \frac{1}{S_0 [J]} \langle 0 \vert T \{ A^{\mu} (x) S[J] \} \vert 0 \rangle = i \frac {\delta \ln S_0 [J]}{\delta J_{\mu} (x)},</math>
где <math>S_0[J] \equiv \langle 0 \vert S[J] \vert 0 \rangle, \mu = 0,1,2,3.</math> <math>\langle 0 \vert \cdots \vert 0 \rangle</math> — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ <math>T</math> обозначает хронологическое упорядочение операторов, <math>\frac {\delta}{\delta J_{\mu} (x)},</math> — вариационная производная.
В итоге для двухточечной фермионной функции Грина
- <math>G(x,y \vert J) = - \frac{i}{S_0 [J]} \langle 0 \vert T \{ \psi (x) \overline{\psi} (y) S[J] \} \vert 0 \rangle ,</math>
где <math>\psi(x)</math> — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:
- <math>\left \{ \gamma_{\mu} \left [ \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} - e \mathcal{A^{\mu}}(x) \right ] - m - i e \gamma_{\mu} \frac {\delta}{\delta J_{\mu} (x)} \right \} G(x,y \vert J) = \delta^4 (x - y),</math>
где <math>\gamma_{\mu}</math> — матрицы Дирака, <math>e, m</math> — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля <math>\mathcal{A^{\mu}}(x)</math> получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току <math>J</math>):
- <math>\Box \mathcal{A^{\mu}}(x) = -J_{\mu}(x) + i e \mathrm{Tr}[\gamma_{\mu} G(x,x \vert J)],</math>
где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам <math>J_{\mu}(x)</math> определить <math>G(x,y \vert J)</math> и <math>\mathcal{A^{\mu}}(x)</math> , называются уравнениями Швингера.
Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения
- <math>G^{\mu \nu}(x,y \vert J) = - \frac{\delta A^{\mu} (x)}{\delta J^{\nu} (y)} = - i \frac {\delta^2 \ln S_0 [J]}{\delta J_{\mu} (x) \delta J_{\nu} (y)}.</math>
Величина <math>Z[J] \equiv i \ln S_0[J]</math> называется производящим функционалом.
Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:
- <math>\Gamma_{\mu} (x, y, z) = - \frac{\delta}{\delta A^{\mu}} G^{-1}(x, y \vert J),</math>
где <math>G^{-1}</math> — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.
Литература
