Русская Википедия:Усечённый додекаэдр

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Усечённый додека́эдрШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников.

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен <math>\pi + \arccos \frac{\sqrt5}{3} \approx 1{,}23\pi.</math>

Усечённый додекаэдр имеет 90 рёбер равной длины. При 30 рёбрах (между двумя десятиугольными гранями) двугранные углы равны <math>\arccos\left(-\frac{\sqrt5}{5}\right) \approx 116{,}57^\circ,</math> как в додекаэдре; при 60 рёбрах (между треугольной и десятиугольной гранями) <math>\arccos\left(-\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{15}}\right) \approx 142{,}62^\circ,</math> как в икосододекаэдре.

Усечённый додекаэдр можно получить из обычного додекаэдра, «срезав» с того 20 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр додекаэдра и икосаэдра.

В координатах

Усечённый додекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• <math>(0;\;\pm(\Phi-1);\;\pm(\Phi+2)),</math>
• <math>(\pm(\Phi-1);\;\pm\Phi;\;\pm2\Phi),</math>
• <math>(\pm\Phi;\;\pm2;\;\pm(\Phi+1)),</math>

где <math>\Phi = \frac{1+\sqrt5}{2}</math> — отношение золотого сечения.

Начало координат <math>(0;0;0)</math> будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если усечённый додекаэдр имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как

<math>S = 5 \left(\sqrt3+6\sqrt{5+2\sqrt5}\right )a^2 \approx 100{,}9907602a^2,</math>

<math>V = \frac{5}{12} \left(99+47\sqrt5\right) a^3 \approx 85{,}0396646a^3.</math>

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

<math>R = \frac{1}{4} \sqrt{74+30\sqrt5}\;a \approx 2{,}9694490a;</math>

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

<math>\rho = \frac{1}{4} \left(5+3\sqrt5\right) a \approx 2{,}9270510a.</math>

Вписать в усечённый додекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого додекаэдра с ребром <math>a</math> (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

<math>r_{10} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt5}{2}}\;a \approx 2{,}4898983a.</math>

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит <math>r_{10}</math> и равно

<math>r_3 = \frac{\sqrt3}{12} \left(9+5\sqrt5\right) a \approx 2{,}9127812a.</math>

Ссылки

• Шаблон:Mathworld

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга