Русская Википедия:Усечённый октаэдр
Усечённый окта́эдрШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников.
В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две шестиугольных грани и одна квадратная. Телесный угол при вершине равен в точности <math>\pi.</math>
Усечённый октаэдр имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя шестиугольными гранями) двугранные углы равны <math display="inline">\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109{,}47^\circ,</math> как в октаэдре; при 24 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) <math display="inline">\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right) \approx 125{,}26^\circ,</math> как в кубооктаэдре.
Усечённый октаэдр можно получить из обычного октаэдра, «срезав» с того 6 квадратных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр октаэдра и куба.
В координатах
Усечённый октаэдр с длиной ребра <math display="inline">\sqrt2</math> можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел <math display="inline">(0;\;\pm1;\;\pm2).</math>
Начало координат <math display="inline">(0;\;0;\;0)</math> будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.
Метрические характеристики
Если усечённый октаэдр имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как
- <math>S = 6\left(1+2\sqrt3\right)a^2 \approx 26{,}7846097a^2,</math>
- <math>V = 8\sqrt2\;a^3 \approx 11{,}3137085a^3.</math>
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
- <math>R = \frac{\sqrt{10}}{2}\;a \approx 1{,}5811388a;</math>
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho = \frac{3}{2}\;a = 1{,}5000000a.</math>
Вписать в усечённый октаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого октаэдра с ребром <math>a</math> (она будет касаться только всех шестиугольных граней в их центрах), равен
- <math>r_6 = \frac{\sqrt6}{2}\;a \approx 1{,}2247449a.</math>
Расстояние от центра многогранника до любой квадратной грани превосходит <math>r_6</math> и равно
- <math>r_4 = \sqrt2\;a \approx 1{,}4142136a.</math>
Заполнение пространства
С помощью усечённых октаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.
-
Фрагмент заполнения
-
Рёберная модель
Кроме того, пространство можно замостить усечёнными октаэдрами вместе с усечёнными кубооктаэдрами и кубами; вместе с усечёнными тетраэдрами и кубооктаэдрами.
-
Усечённые кубооктаэдры, усечённые октаэдры и кубы
-
Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры.
В природе и культуре
Формы, близкие к усечённому октаэдру, встречаются у кристаллов флюорита (плавикового шпата), пирита, в атомных структурах содалита, фожазита.
-
Атомная структура содалита
Ячейка в форме усечённого октаэдра используется при моделировании молекулярной динамики с периодическими граничными условиями для увеличения эффективности вычислений по сравнению с ячейками в форме параллелепипеда.
В виде усечённого октаэдра был выполнен Adidas Teamgeist, официальный мяч чемпионата мира по футболу 2006 года. Это первый подобный мяч чемпионата мира, состоящий из 14 панелей; ранее мячи изготавливались из 32 панелей и напоминали усечённый икосаэдр.
-
Старинная китайская игральная кость периода Сражающихся царств
-
Вариант кубика Рубика
-
Уличная скульптура в Бонне
-
Верёвочный городок в Загребе
-
Верёвочный городок в Салоу
Примечания
Ссылки
Литература
,_crop.jpg){kind=link}