Русская Википедия:Условие Гюгонио

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Условия Гюгонио — условия, которые должны выполняться на линиях разрыва решений уравнений газовой динамики, как следствия интегральных законов сохранения.

Пусть <math> x=x(t)- </math> уравнение одной из линий разрыва гидродинамических величин, которую будем предполагать на рассматриваемом отрезке <math> t_{1}\leqslant t \leqslant t_{2} </math> обладающей непрерывной касательной

Пусть <math> f(x,t) </math> терпит разрыв на линии <math> x=x(t) </math>.
Обозначим:
<math> f_{1}(t)=f(x(t)-0,t);</math>
<math>f_{2}(t)=f(x(t)+0,t);</math>
<math>[f]=f_{2}(t)-f_{1}(t) </math>

Интегральные законы сохранения в эйлеровых координатах имеют вид
<math> (1)\begin{cases} \oint\limits_C \rho x^\nu \cdot d x - \rho u x^\nu \cdot d t=0, \\

\oint\limits_C \rho u x^\nu \cdot d x - (p+\rho u^2) x^\nu \cdot d t = - \oint\limits_G \oint\limits_C \nu p x^{\nu-1} \cdot d x d t ,  \\                
\oint\limits_C \rho (\varepsilon + \frac{u^2}{2} ) x^\nu \cdot d x - \rho u (\varepsilon + \frac{p}{\rho}  +  \frac{u^2}{2} )x^\nu \cdot d t=0.   \end{cases} </math>

Запишем законы сохранения (2) для контура АА' ВВ', считая, что линии А'В и B'А контура С, а также двойной интеграл <math>\oint\limits_G \oint\limits_C \nu p x^{\nu-1} \cdot d x d t </math>. Вдоль линии <math>x=x(t)</math> имеем <math>dx=Ddt</math>, где <math>D=D(t)=x^\prime (t)</math>.
Поэтому, например, из первого уравнения (1), получаем
<math> \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} x^\nu \left \{ (\rho_{2}(t)-\rho_{1}(t))D(t) - (\rho_{2}(t)u_{2}(t)-\rho_{1}(t)u_{1}(t))\right \}\cdot dx=0 </math> <math>,(2)</math>
Ввиду произвольности пределов интегрирования в (2), должно равняться нулю подынтегральное выражение т.е. <math> x^\nu (t) \left \{ D(t)[\rho] - [\rho u ] \right \} = 0</math>.

Сокращая равенство на <math> x^\nu </math>, мы видим, что условия на линии разрыва одинаковы для трех случаев симметрии <math>\nu = 0,1,2</math>.
Поступая аналогичным образом со всеми законами сохранения (1), получим условия на линии разрыва <math> x=x(t) </math>

<math> D [ \rho ] = [ \rho u ], </math>

<math> D [ \rho u ]=[p + \rho u^2], </math>

<math> D [ \rho (\varepsilon + \frac{u^2}{2})] = [ \rho u (\varepsilon + \frac{p}{\rho} + \frac{u^2}{2})] </math>

которые связывают скачки гидродинамических величин на линии разрыва <math> x=x(t) </math> и скорость <math> D=x^\prime (t) </math> линии разрыва.
Последние соотношения называются условиями гидродинамической совместимости разрыва либо условиями Гюгонио.