Русская Википедия:Условия Коши — Римана
Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную <math>u=u(x,y)</math> и мнимую <math>v=v(x,y)</math> части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного <math>w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy</math>.
Формулировка
В декартовых координатах
Для того чтобы функция <math>w=f(z)</math>, определённая в некоторой области <math>D</math> комплексной плоскости, была дифференцируема в точке <math>z_0=x_0+iy_0</math> как функция комплексного переменного <math>z</math>, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части <math>u</math> и <math>v</math> были дифференцируемы в точке <math>(x_0,y_0)</math> как функции вещественных переменных <math>x</math> и <math>y</math> и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:
- <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ;</math>
- <math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .</math>
Компактная запись:
- <math>\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} = 0,</math> или <math>\frac{\partial f}{\partial x} = \frac1i \frac{\partial f}{\partial y}.</math>
Если условия Коши — Римана выполнены, то производная <math>f'(z)</math> представима в любой из следующих форм:
- <math>\begin{align} f'(z) &= \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} - i \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y}+i \frac{\partial v}{\partial x}= \\
&= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac1i\frac{\partial f}{\partial y}. \\ \end{align}</math>
Доказательство
1. Необходимость
По условию теоремы существует предел
- <math>f'(z_0) = \lim_{\Delta z\to0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z},</math>
не зависящий от способа стремления <math>\Delta z</math> к нулю.
- Вещественное приращение. Положим <math>\Delta z = \Delta x</math> и рассмотрим выражение
- <math>\lim_{\Delta z\to0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}.</math>
- Существование комплексного предела <math>\lim_{\Delta z\to0}\tfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}</math> равносильно существованию одного и того же предела в любом направлении, включая <math>\lim_{\Delta x\to0}\tfrac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}.</math> Поэтому в точке z0 существует частная производная функции f(z) по x и имеет место формула
- <math>\lim_{\Delta z\to0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} = \frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0}.</math>
- Чисто мнимое приращение. Полагая <math>\Delta z = i \Delta y</math>, находим
- <math>\lim_{\Delta z\to0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} = \lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{f(z_0 + i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y} = \frac1i\frac{\partial f(z_0)}{\partial y_0}.</math>
Это означает, что если функция дифференцируема, то производные функции по x и по y точно одинаковы, то есть необходимость условий Коши — Римана доказана.
2. Достаточность
Иными словами, нужно доказать в обратную сторону — что если производные функции по x и по y действительно одинаковы, то функция оказывается дифференцируемой вообще в любых направлениях.
Приращение функции
Следуя определению дифференцируемости, приращение функции <math>f(z)</math> в окрестности точки <math>z_0</math> может быть записано в виде
- <math>f(z_0+\Delta z)-f(z_0) = \frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0} \Delta x + \frac{\partial f(z_0)}{\partial y_0}\Delta y +\xi(x,y),</math>
где комплекснозначная функция <math>\xi(x,y)</math> служит «придаточным» слагаемым и стремится к нулю при <math>(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)</math> быстрее, чем <math>\Delta x</math> и <math>\Delta y,</math> то есть
- <math>\lim_{\Delta z\to0} \frac{\xi(x,y)}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to0} \frac{\xi(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}{\Delta z}=0.</math>
Составим теперь разностное соотношение <math>\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}</math> и преобразуем его к виду
- <math>\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} = \frac{\frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0} \Delta x + \frac1i\frac{\partial f(z_0)}{\partial y_0}(i\Delta y) +\xi(x,y)}{\Delta z}.</math>
Условие дифференцируемости
Теперь, чтобы доказать достаточность условий Коши — Римана, подставим их в разностное соотношение и получим следующее:
- <math>\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} = \frac{\frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0} \Delta x + \frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0}(i\Delta y) +\xi(x,y)}{\Delta z}=\frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0} +\frac{\xi(x,y)}{\Delta z}.</math>
Заметим, что при стремлении <math>\Delta z</math> к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первое остаётся неизменным. Поэтому предел <math>\tfrac{\partial f(z_0)}{\partial z_0}=\lim_{\underset{\Delta z\in\C}{\Delta z\to0}}\tfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} = f'(z_0)</math> одинаков в любом направлении приращения <math>\Delta z,</math> а не только вдоль вещественной и мнимой осей, а значит, этот предел существует, что и доказывает достаточность.
В полярных координатах
В полярной системе координат <math>(r, \varphi)</math> условия Коши — Римана выглядят так:
- <math>\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \frac{\partial v}{\partial r}.</math>
Компактная запись:
- <math>\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{i}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi} = 0 .</math>
Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции
Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:
- <math>f(z) = R(x, y) e^{i \Phi (x, y)}.</math>
Тогда условия Коши — Римана связывают модуль <math>R</math> и аргумент <math>\Phi</math> функции следующим образом:
- <math>\frac{\partial R}{\partial x} = R \frac{\partial \Phi}{\partial y};\quad\frac{\partial R}{\partial y} = - R \frac{\partial \Phi}{\partial x} .</math>
А если функция и её аргумент выражены в полярной системе одновременно:
- <math>f(z) = R(r, \varphi) e^{i \Phi (r, \varphi)},</math>
то запись приобретает вид:
- <math>\frac{\partial R}{\partial r} = \frac{R}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi};\quad R \frac{\partial \Phi}{\partial r} = - \frac{\partial R}{r\partial \varphi}. </math>
Геометрический смысл условий Коши — Римана
Пусть функция <math>w=f(z)=u(x, y)+iv(x, y),</math> где <math>z=x+iy,</math> дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости <math>(x, y)</math> два семейства кривых (линии уровня).
- Первое семейство: <math>u(x, y)=const.</math>
- Второе семейство: <math>v(x, y)=const.</math>
Тогда условия Коши — Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.
Алгебраический смысл условий Коши — Римана
Если рассматривать множество комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math> как векторное пространство над <math>\mathbb{R}</math>, то значение производной функции <math>f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства <math>\mathbb{C}</math> в себя (<math>\mathbb{R}</math>-линейность). Если же рассматривать <math>\mathbb{C}</math> как одномерное векторное пространство над <math>\mathbb{C}</math>, то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства <math>\mathbb{C}</math> в себя (<math>\mathbb{C}</math>-линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число <math>f'(z)</math>. Очевидно, всякое <math>\mathbb{C}</math>-линейное отображение <math>\mathbb{R}</math>-линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство) <math>\mathbb{C}</math> изоморфно полю вещественных матриц вида <math>\begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix}</math> с обычными матричными операциями, условия Коши — Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения <math>f</math> в точке <math>z</math> (точнее, отображения <math>\tilde{f}\colon (x, y)\mapsto \big(u(x, y), v(x, y)\big)</math> в точке <math>(x, y)</math>), являются условиями <math>\mathbb{C}</math>-линейности <math>f'(z)</math>, т.е. <math>\tilde{f}'(x, y)</math>.
История
Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.
Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.
См. также
Литература
