Русская Википедия:Условия излучения Зоммерфельда

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнение Гельмгольца:

<math> \Delta U + k^2 U = f </math>

- имеет не единственное решение в классе (обобщённых) функций, обращающихся в нуль на бесконечности. Чтобы выделить класс единственности решения (из соображений удобства выбрать конкретное решение) в неограниченных областях, необходимо потребовать дополнительных ограничений решения на бесконечности. Этими ограничениями и явились условия излучения Зоммерфельда:

<math> u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right),\quad \frac{\partial u(x)}{\partial |x|}-iku(x)=o\left(\frac{1}{|x|}\right),\quad|x|\to\infty\qquad\left(1\right)</math>

или

<math> u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right),\quad\frac{\partial u(x)}{\partial |x|}+iku(x)=o\left(\frac{1}{|x|}\right),\quad|x|\to\infty\qquad\left(\overline{1}\right)</math>.

Условия излучения <math>\left(1\right)</math> отвечают уходящим на бесконечность волнам, а условия <math>\left(\overline{1}\right)</math> волнам приходящим из бесконечности. Для гармонических функций <math>\left(k=0\right)</math> условия излучения вытекают из единственного требования: <math>u\left(\infty\right)=0</math>. Также можно показать, что при <math>k>0</math> всякое решение однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее второму из условий <math>\left(1\right)</math> или <math>\left(\overline{1}\right)</math>, удовлетворяет и первому условию: <math>u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right)</math>

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• С. В. Молодцов. Условия излучения Зоммерфельда // Физическая энциклопедия