Русская Википедия:Устойчивое распределение
Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей — это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.
Определение
Функция распределения <math>F(x)</math> называется устойчивой, если для любых действительных чисел <math>a_{1} > 0, a_{2} > 0, b_{1}, b_{2}</math> найдутся числа <math>a > 0, b</math> такие, что имеет место равенство: <math>F(a_{1}x+b_{1}) * F(a_{2}x+b_{2}) = F(ax+b)</math>, где * - операция свёртки. Если <math>\phi(t)</math> является характеристической функцией устойчивого распределения, то для любых <math>a_{1} > 0, a_{2} > 0</math> найдутся числа <math>a > 0, b</math> такие, что <math>\phi ( \frac{t}{a_1} ) \phi ( \frac{t}{a_2} ) = \phi ( \frac{t}{a} ) {e}^{ -i t b }</math>.Шаблон:Sfn
Замечания
- Если <math>F_X</math> — функция устойчивого распределения, то <math>\forall n \in \mathbb{N},\; \exists a_n > 0,b_n \in \mathbb{R}</math>, такие что
- <math>F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right) = \underbrace{F_X(x) * \cdots * F_X(x)}_{n},\quad \forall x \in \mathbb{R}</math>,
где <math>*</math> обозначает свёртку.
- Если <math>\phi_X</math> — характеристическая функция устойчивого распределения, то <math>\forall n \in \mathbb{N},\; \exists a_n,b_n \in \mathbb{R}</math>, такие что
- <math>\phi_X^n(t) = \phi_X(a_n t) \, e^{ib_n t}</math>.
Свойства устойчивых распределений
- Пусть <math>\xi_{1}, \xi_{2}, ..., \xi_{n}</math> — независимые одинаково распределённые случайные величины и <math>\eta_{n} = \frac{1}{\beta_{n}}\sum_{k=1}^{n}\xi_{k}-\alpha_{n}</math>, где <math>\beta_{n} > 0, \alpha_{n}</math> — некоторые нормирующие и центрирующие константы. Если <math>F_{n}(x)</math> — функция распределения случайных величин <math>\eta_{n}</math>, то предельными распределениями для <math>F_{n}(x)</math> при <math>n \to \infty</math> могут быть лишь устойчивые распределения. Верно обратное: для любого устойчивого распределения <math>F(x)</math> существует такая последовательность случайных величин <math>\eta_{n} = \frac{1}{\beta_{n}}\sum_{k=1}^{n}\xi_{k}-\alpha_{n}</math>, что <math>F_{n}(x)</math> сходится к <math>F(x)</math> при <math>n \to \infty</math>.Шаблон:Sfn
- (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:
- <math>\ln \phi(t) = \begin{cases}
it \beta - d |t|^{\alpha} \left(1 + i\theta \frac{t}{|t|} G(t,\alpha)\right), & t \not= 0, \\ 0, & t = 0. \end{cases} </math> где <math>0 < \alpha \le 2,\; \beta \in \mathbb{R},\; d \ge 0,\; |\theta| \le 1,</math> и
- <math>
G(t,\alpha) = \begin{cases} \mathrm{tg} \frac{\pi}{2} \alpha, & \alpha \not= 1, \\ \frac{2}{\pi} \ln |t|, & \alpha = 1. \end{cases} </math>
См. также
Примечания
Литература
Шаблон:Список вероятностных распределений
