Русская Википедия:Устойчивость (динамические системы)

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных. В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем.

Определения

Пусть <math>\Omega</math> — область фазового пространства <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>I = [\tau; \infty)</math>, где <math>\tau \in \mathbb{R}</math>. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида: Шаблон:EF где <math>x \in \mathbb{R}^n</math>, функция <math>f</math> определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица локально по <math>x</math> в области <math>I \times \Omega</math>.

При этих условиях для любых <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> существует единственное решение <math>x(t, t_0, x_0)</math> системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: <math>x(t_0, t_0, x_0) = x_0</math>Шаблон:Sfn. Выделим некоторое решение <math>\varphi(t)</math>, определённое на интервале <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, таком, что <math>J^+ \subset I</math> и будем называть его невозмущённым решением.

Устойчивость по Ляпунову

Невозмущённое решение <math>\varphi(t)</math> системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых <math>t_0 > \tau</math> и <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, зависящее только от <math>\varepsilon</math> и <math>t_0</math> и не зависящее от <math>t</math>, такое, что для всякого <math>x_0</math>, для которого <math>\|x_0 - \varphi(t_0)\| < \delta</math>, решение <math>x</math> системы (1) с начальными условиями <math>x(t_0) = x_0</math> продолжается на всю полуось <math>J^+</math> и для любого <math>t \in J^+</math> удовлетворяет неравенству <math>\|x(t) - \varphi(t)\| < \varepsilon</math>Шаблон:Sfn.

Символически это записывается так:

<math>\forall \varepsilon > 0, \forall t_0 \in I \ \exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0: \ \forall x_0: \|x_0 - \varphi(t_0)\| < \delta \Rightarrow \forall t \in J^+: \|x(t, t_0, x_0) - \varphi(t)\| < \varepsilon.</math>

Невозмущённое решение <math>\varphi(t)</math> системы (1) называется неустойчивым, если оно не является устойчивым по Ляпунову, то есть

<math>\exists \varepsilon > 0, \exists t_0 \in I: \forall \delta > 0 \ \exists x_0 : \|x_0 - \varphi(t_0)\| < \delta, \exists t_* > t_0: \|x(t_*, t_0, x_0) - \varphi(t_*)\| = \varepsilon.</math>

Равномерная устойчивость

Невозмущённое решение <math>\varphi(t)</math> системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если <math>\delta</math> из предыдущего определения зависит только от <math>\varepsilon</math>:

<math>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall x_0, \forall t_0 \in I: \|x_0 - \varphi(t_0)\| < \delta \Rightarrow \forall t \in J^+: \|x(t, t_0, x_0) - \varphi(t)\| < \varepsilon.</math>

Асимптотическая устойчивость

Невозмущённое решение <math>\varphi(t)</math> системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и является притягивающим, то есть выполняется условие <math>\lim_{t \to \infty} \|x(t, t_0, x_0) - \varphi(t)\| = 0</math> для любого решения <math>x(t)</math> с начальными данными <math>x_0</math>, для которых выполняется неравенство <math>||x_0 - \varphi(t_0)|| < \delta_0</math> при некотором <math>\delta_0</math>.

Существуют определённые разновидности асимптотической устойчивостиШаблон:Sfn. Невозмущённое решение <math>\varphi(t)</math> системы (1) называется:

  • эквиасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее (<math>x(t)</math> не зависит от <math>x_0</math>).
  • равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее (<math>x(t)</math> не зависит от <math>t_0</math>и <math>x_0</math>).
  • асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее (отсутствует ограничение на <math>x_0</math>).
  • равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно и глобальнопритягивающее.

Замечание

В качестве невозмущённого решения системы можно рассматривать тривиальное решение <math>x(t) \equiv 0</math>, что делает условия устойчивости более простыми. Для этого необходимо ввести сдвигающую замену <math>y = x - \varphi</math> и рассматривать систему

<math> \dot{y} = g(t,y), </math>

где <math>g(t,y) = f(t,y+\varphi(t)) - f(t,\varphi(t)).</math>

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

См. также

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Устойчивость_(динамические_системы)&oldid=11080256