Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.
Факторгруппа группы <math>G</math>
по нормальной подгруппе <math>H</math>
обычно обозначается <math>G/H</math>.
Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.
Определение
Пусть <math>G</math> — группа, <math>H</math> — её нормальная подгруппа и <math>a \in G</math> — произвольный элемент.
Тогда на классах смежности <math>H</math> в <math>G</math>
- <math>aH=\{\,ah\mid\,h\in H\}</math>
можно ввести умножение:
- <math>(aH)(bH)=abH</math>
Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если <math>aH=a'H</math> и <math>bH=b'H</math>, то <math>abH=a'b'H</math>.
Это умножение определяет структуру группы
на множестве классов смежности,
а полученная группа <math>G/H</math> называется факторгруппой <math>G</math> по <math>H</math>.
Свойства
- Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма <math>\varphi:G\to K</math>
- <math>G / \mathrm{Ker}\, \varphi \cong \varphi (G)</math>,
- то есть факторгруппа <math>G</math> по ядру <math>\mathrm{Ker}\, \varphi</math> изоморфна её образу <math>\varphi (G)</math> в <math>K</math>.
- Отображение <math>a \mapsto aH</math> задаёт естественный гомоморфизм <math>G \to G/H</math>.
- Порядок <math>G/H</math> равен индексу подгруппы <math>[G:H]</math>. В случае конечной группы <math>G</math> он равен <math>|G|/|H|</math>.
- Если <math>G</math> абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и <math>G/H</math> будет обладать тем же свойством.
- <math>G/G</math> изоморфна тривиальной группе (<math>\{e\}</math>), <math>G/{e}</math> изоморфна <math>G</math>.
Примеры
- Пусть <math>G = \mathbb{Z}</math>, <math>H = n\mathbb{Z}</math>, тогда <math>G/H</math> изоморфна <math>\mathbb{Z}_n</math>.
- Пусть <math>G = \mathbf{UT}_n</math> (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), <math>H = \mathbf{SUT}_n</math> (группа верхних унитреугольных матриц), тогда <math>G/H</math> изоморфна группе диагональных матриц.
- Пусть <math>G = S_4</math> (симметрическая группа), <math>H = V_4</math> (четверная группа Клейна, состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда <math>G/H</math> изоморфна <math>S_3</math>.
- Пусть <math>G = S_n</math> (симметрическая группа), <math>H = A_n</math> (знакопеременная группа), тогда <math>G/H</math> изоморфна <math>\mathbb{Z}_2</math>.
- Пусть <math>G = Q_8</math> (группа кватернионов), <math>H = \mathbb{Z}_2</math>(циклическая группа, состоящая из 1, −1), тогда <math>G/H</math> изоморфна <math>V_4</math>.
Вариации и обобщения
Примечания
Шаблон:Примечания
Литература
Шаблон:Algebra-stub
Шаблон:Теория групп
| Партнерские ресурсы |
|---|
| Криптовалюты |
|
|---|
| Магазины |
|
|---|
| Хостинг |
|
|---|
| Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
|---|
